[obm-l] limsup e subsequencias

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal.
Me deparei com o seguinte problema:
Seja X = (x[n]) uma sequencia limitada em R.
Prove que se L é o conjunto dos v pert R tal que exista uma subsequencia 
de X que converge para v, entao limsup(x[n]) = sup L

Bom o que eu consegui até agora foi isso:
Suponha que exista uma subsequencia que convirja para um numero v maior 
do que limsup(x[n]).
Ora, como v é limite de uma subsequencia de (x[n]) entao existem 
infinitos termos da sequencia que estao no intervalo (v-eps, v+eps) para 
qualquer eps > 0. Em particular existem infinitos indices n tal que x[n] 
 > limsup(x[n]), mas isto é uma contradicao pois limsup(x[n]) é 
justamente o menor elemento de (x[n]) tal que existam apenas um numero 
finito de elementos de (x[n]) maior do que ele.

Acredito que eu mostrei aqui que limsup(x[n]) é apenas um limitante 
superior para L certo? Como eu mostro que ele é o menor limitante 
superior (e portanto o sup) de L ?

Obrigado antecipadamente.

Niski.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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