Re: [obm-l] soma de termos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Oi, Brunno. Eu estava respondendo ontem quando acabou a luz, e aí
acabei perdendo a linha. Acho que agora estará tudo certo:

Primeiro, como você falou, está errado no local da soma, mas é C(n+1,
1+1), pois esta é a soma do último.

Agora, vamos para a demonstração da lei das colunas (por indução,
apesar de o Cláudio ter falado mal dela!)
Teorema: SOMA {desde m=1até m=n} C(m, k) = C(n+1, k+1)
Caso Base: n=1 (podia ser n=0)
Temos duas possibilidades: k = 1 e k > 1
Se k = 1, esta igualdade é 1 = C(1, 1) = C(1+1, 1+1) = C(2, 2) = 1, OK!
Se k > 1, é 0 = C(1, k) = C(2, k+1) = 0 pois (k+1) > 2

Agora, só falta o passo de indução:
SOMA {desde m=1até m=(n+1)} C(m, k) = SOMA {desde m=1até m=n} C(m, k)
+ C(n+1, k), separando o último termo da soma,
= C(n+1, k+1) + C(n+1, k) pela hipótese de indução
= C( (n+1) + 1, k + 1), pela fórmula C(a, b+1) + C(a, b) = C(a+1, b+1)
(Demonstre ela: é só expandir!)

Eu acho que vale também para k negativo ou zero, mas isso eu deixo
para você pensar (ah, e também tem o velho problema de definir quanto
vale C(n, -32), mas isso é zero, eu acho) Para k=0, o teorema na
verdade é uma coisa bem "trivial"!

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On Apr 4, 2005 5:01 PM, Brunno <profbrunno@uol.com.br> wrote:
> Unico engano é nessa passagem
> Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo
> C(n, 2)
> deveria ser C(n+1,2+1)
> muito obrigado pela forca
> se puder me ajuda com a demonstracao da soma de colunas
> Um abraco
> Do amigo brunno
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@gmail.com>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, April 04, 2005 1:38 PM
> Subject: Re: [obm-l] soma de termos
> 
> Isto tem uma resposta muito legal com números binomiais:
> 
> Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) é o
> número de combinações de a, escolhendo b, que é equivalente a
> a!
> ----
> b! (a-b)!
> 
> Ora, o que você quer é somar tudo, de m=1 até n.
> Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo
> teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1)
> usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora
> é só expandir.
> 
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno <profbrunno@uol.com.br> wrote:
> > Boa tarde pessoal da lista
> > dentro de uma exercício, cheguei a soma de
> > soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...................n^2
> > e vi que tinha uma formula especifica
> > n^3/3 + n^2/2 +n/6
> > mas como se chega a esta formula???
> > Um abraco
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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