Re: [obm-l] Problemas de probabilidades

["andre" <andrezinho1964@xxxxxxxxxxxx>]

Prezado Ralph, muito obrigado pelas suas geniais contribuições. Um abração,
André.

----- Original Message -----
From: "Ralph Teixeira" <RALPH@fgv.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, April 03, 2005 12:49 PM
Subject: RE: [obm-l] Problemas de probabilidades


Oi, Andre. Vamos ver se eu consigo fazer observacoes boas....

>> 1) Uma moeda equilibrada é lançada até que, pela primeira vez, o mesmo
resultado apareça duas
>> vezes sucessivas. Descreva o espaço amostral desse experimento e calcule
a probabilidade do
>> seguinte evento: o experimento terminar antes do sexto lançamento.
>> Solução proposta:
>> O espaço amostral é dado por W = {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c,
k, c, c), (k, c, k, c, k),
>> (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k, c, k, k), (c, k, c, k, c)}.

Perfeito, desde que se entenda que (k,c,k,c,k) significa "kckck....", ou
seja, TODAS as series de lancamentos que **comecam** com kckck. Idem para
ckckc.

>> O número de casos favoráveis (são aqueles que aparecem sublinhados) é 8.
Portanto,a
>> probabilidade pedida é 8/10.

A armadilha mais comum em probabilidade (dentro da qual voce vai achar
estudantes, professores e muita gente boa, incluindo eu) eh usar a formula
do "casos favoraveis" / "casos possiveis"... Esta formula soh funciona se os
casos sao IGUALMENTE PROVAVEIS, o que nem sempre eh verdade. Neste caso, por
exemplo, os 10 casos do espaco amostral NAO SAO igualmente provaveis. Se a
moeda eh justa e os lancamentos sao independentes, entao Pr(kk)=1/4 enquanto
Pr(kcc)=1/8, certo? Uma tabela com todas as probabilidades, na ordem que
voce escreveu, dah: 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32.
(Eu sempre aproveito para verificar se a soma deu 1; caso contrario, esqueci
algo no espaco amostral).

Agora, o evento desejado eh o que voce sublinhou. Para encontrar sua
probabilidade, SOME as probabilidades dos eventos:
1/4+1/8+1/16+1/32+1/4+1/8+1/16+1/32 = 1-2/32 = 15/16.

>> 2) Seis urnas contêm cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna
contêm 8 bolas brancas.
>> Duas urnas contêm 6 bolas brancas e três urnas contêm 4 bolas brancas.
Uma urna é selecionada e três
>> bolas são extraídas. Foram obtidas duas bolas brancas e uma preta. Qual é
a probabilidade de que a
>> urna selecionada tenha sido a que tinha 6 brancas e seis pretas?
>> Solução proposta:
>> Pede-se a probabilidade de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram
obtidas duas bolas brancas
>> e uma bola preta, ou seja, é o caso de uma probabilidade condicional.
>> --  A é o evento "obter duas bolas brancas e uma bola preta":

>> Na urna I (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x
5/9 x 4/8 x 3 = 1/12

O raciocinio estah perfeito, mas voce fez a urna 1 como se fossem 6 bolas
brancas e 4 pretas. Sao **8** brancas e 4 pretas, entao Pr(A e Urna I)=1/6 x
8/12 x 7/11 x 4/10 x 3



>> Na urna II (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x
5/11 x 6/10 x 3 = 3/44

>> (o mesmo se dá na urna III)

>> Na urna IV (há probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x
3/11 x 8/10 x 3 = 2/55

>> (o mesmo se dá nas urnas V e VI).

>> Portanto: P(A) = 1/12 + 2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660

>> A inter B é o evento "obter duas bolas brancas e uma bola preta extraídas
da urna II ou da urna III":

>> Na urna II: 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se dá na urna
III)

>> Portanto: P(A e B) = 2 x 3/44 = 3/22.

>> Assim, 3/22 : 217/660 = 90/217.

Eh, Pr(B|A) = Pr(A e B)/Pr(A). O resto estah perfeito ateh onde eu posso
ver, soh tem que consertar aquele "1/12" na conta do P(A) e dali pra frente.


>> 3- Seis dados são lançados. Qual é a probabilidade de que todos os seis
números aparecerão?
>> A probabilidade de ocorrer seqüência (1, 2, 3, 4, 5, 6) é (1/6)6. Como há
6! formas de organizar a
>> referida seqüência, a probabilidade pedida é (1/6)6x 6! » 1,5%.
Esta eu concordo 100%. :)

Abraco,
           Ralph





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