Re: [obm-l] questão de olimpíada

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 31.03.05 12:16, Felipe Nardes at felipe_nardes@hotmail.com wrote:

> Ae galera me dá uma ajuda nessa questão:
> 
> Determine todas as sequências finitas de números naturais consecutivos cuja
> soma seja igual a 1000.
> 
> gabarito: (1000), (198,199,200,201,202), (55,56,57,...,69,70) e
> (28,29,30,...,51,52)
> 
> valeu!
> 
Se a sequencia tem um numero impar 2m+1 de termos entao 2m+1 divide 1000,
pois a soma de 2m+1 inteiros consecutivos eh igual a 2m+1 vezes o inteiro do
meio, igual a 1000/(2m+1).

Os divisores impares de 1000 = 2^3*5^3 sao 1, 5, 25 e 125.
Os termos do meio respectivos sao 1000, 200, 40 e 8.
Repare que 125 nao serve pois a sequencia correspondente teria termos
negativos, contrariamente ao enunciado.
Logo, teremos 3 sequencias com um numero impar de termos:
1 termo ==> (1000)
5 termos ==> (198,199,200,201,202)
25 termos (28,29,...,40,...,51,52)

Se a sequencia tem um numero par 2m de termos, entao vai existir um inteiro
positivo N tal que 2m*(N + 1/2) = 1000 ==> m*(2N + 1) = 1000.
A sequencia serah: (N-m+1, N-m+2, ..., N-1, N, N+1,...,N+m-1, N+m)
Obviamente, N-m+1 >= 1 ==> N >= m.
 
2N + 1 eh um divisor impar de 1000 e eh >=3 ==>
2N + 1 soh pode assumor os valores 5, 25 ou 125 ==>
N soh pode ser 2, 12 ou 62 ==>
os m correspendentes serao 200, 40 e 8 ==>
Soh podemos ter N = 62 > 8 e a sequencia serah:
(55, 56, ..., 62, 63, 64, ..., 69, 70)

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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