Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Eu acho que esta função que você fez está certa (homogênea, porém não
linear). E ela se baseia no argumento do Cláudio (ou seja, se o corpo
sobre o qual temos o espaço vetorial for R, em vez de C). Só cuidado
que o vetor (1,1) não é unitário, mas isso não estraga as idéias
(tinha que multiplicar por sqrt(1/2) par normalizar).

Eu acho que toda função de um corpo infinito nele mesmo que seja
homogênea de grau 1 será linear (é só repetir o argumento do Cláudio).
Mas não sei se a hipótese de infinito é fundamental.


On Wed, 16 Mar 2005 09:55:27 -0300 (ART),
redpalladin1917-obm@yahoo.com.br <redpalladin1917-obm@yahoo.com.br>
wrote:
> Será que a função T tal que 
> T(a)=â.|a|/2 se â=!(1,1) 
> E 0 caso contrario 
> não é uma em que há homofgeneidade, mas não linearidade ? (tente somar (0,1)
> com (1,0) ) 
> (â é o vetor de modulo unitario no sentido de a, T é uma transformação
> linear de R2 em R2, que a meu ver é completamente analoga a uma de C a C)
> 
> 
> "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
>  
>  
> Bom, Niski, este é o caso de um corpo visto como um espaço vetorial sobre si
> mesmo, o que provavelmente não é uma situação muito comum. 
>   
> Mas o problema dá margem a mais elocubrações. 
>   
> Por exemplo, se tomarmos C como um espaço vetorial (de dimensão 2) sobre R,
> será que o resultado análogo vale? 
> Ou seja, se F:C -> C for tal que F(az) = aF(z) para todo a real e z
> complexo, será que é verdade que F(z+w) = F(z) + F(w) para todos z e w em C?
>   
> E a recíproca do seu resultado? 
> Se G: C -> C é tal que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C,
> então é verdade que F(zw) = zF(w) para quaisquer z e w em C?  
>   
> []s, 
> Claudio. 
>   
>  
>  De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br 
>  
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
>  
>  Cópia: 
>  
>  Data: Tue, 15 Mar 2005 13:58:25 -0300 
>  
>  Assunto: Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade? 
> > Humm. Me parece correto o seu argumento. 
> > Nao consigo precisar bem, mas esse resultado nao me parece intuitivo. 
> > E pra voce? 
> > 
> > 
> > Niski 
> > 
> > claudio.buffara wrote: 
> > 
> > > Supondo que F seja C-homogenea se F(az) = a^nF(z) para quaiquer a e z em
> > > C e n em Z, é evidente que F não é linear, a menos que n = 1. 
> > > 
> > > Nesse caso (ou seja, se F(az) = aF(z)), basta mostrar que esta condição 
> > > implica que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C. 
> > > 
> > > Suponhamos que F(1) = c. 
> > > 
> > > Seja z <> 0. 
> > > c = F(1) = F((1/z)*z) = (1/z)*F(z) ==> F(z) = c*z 
> > > 
> > > Logo, F(z + w) = c*(z + w) = c*z + c*w = F(z) + F(w). 
> > > 
> > > Espero que seja isso. 
> > > 
> > > []s, 
> > > Claudio. 
> > > 
> > > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > 
> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
> > > 
> > > Cópia: 
> > > 
> > > Data: Tue, 15 Mar 2005 11:33:51 -0300 
> > > 
> > > Assunto: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade? 
> > > 
> > > > Pessoal, me deparei com seguinte problema 
> > > > 
> > > > Provar que se L : C -> C é uma funcao entao as condicoes seguintes sao
> > > > equivalentes 
> > > > 
> > > > i) L é C-Homogenea 
> > > > ii) L é C-Linear 
> > > > 
> > > > Acredito que ii => i seja trivial 
> > > > mas como provar i => ii ? Acho que para ser verdadeira deveria ter
> mais 
> > > > informacoes sobre L não? 
> > > > 
> > > > 
> > > > Obrigado 
> > > > 
> > > > Niski 
> > > >
> ========================================================================= 
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> > > >
> ========================================================================= 
> > > > 
> > 
> > ========================================================================= 
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> > ========================================================================= 
> > 
> 
>  ________________________________
> Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! 
> 
> 


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================