Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos

[Marcio M Rocha <ddcristo@xxxxxxxxxx>]

Valeu pela ajuda nas duas questões, Cláudio.

Nessa questão específica eu não queria usar o binômio porque ela consta 
de uma prova de 8a série. Mas, pelo visto, não tem jeito...

Obrigado também pela dica do programa.

Márcio.

claudio.buffara wrote:

>  
> *De:* 	owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> *Para:* 	"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br
>
> *Cópia:* 	
>
> *Data:* 	Sat, 12 Mar 2005 12:16:17 -0300
>
> *Assunto:* 	[obm-l] Problemas diversos
>
> > Boa tarde a todos!
> >
> > Gostaria de uma ajuda com os seguintes problemas (não é necessário
> > resolver, só uma idéia já é o bastante)
> >
> > 1) Se é que é possível, como fatorar (x + y)^7 - x^7 - y^7 sem usar
> > expansão binomial?
> >
> Eu diria que eh possivel, mas usando o binomio e um pouquinho de 
> braco, chega-se a fatoracao 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2.
>  
> Alias, isso me fez pensar nos polinomios F_p(x) = (x+1)^p - x^p - 1, 
> com p primo.
>  
> Para p = 2, 3 e 5, as fatoracoes sao faceis. Respectivamente:
> 2x, 3x(x+1) e 5x(x+1)(x^2+x+1).
> Para p = 7 eh soh usar o resultado acima: 7x(x+1)(x^2+x+1)^2.
>  
> Usando o Pari-GP - que alias estah com um upgrade facilimo de se 
> intalar (veja o site: http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html e 
> instale isso aqui:
>
>
>       Binary distributions (development)
>
>     * Self-installing *Windows* binary: |Pari-2-2-9.exe|
>       <http://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/windows/Pari-2-2-9.exe>,
>        |5431 KBy, Dec 22 19:09:49 2004|
>       |md5sum: 91c43064500b0d3f9e462dcef70dc6fe Pari-2-2-9.exe |
>
> eu cheguei ao seguinte resultado empirico:
>
> F_p(x) = p*x*(x+1)*(x^2+x+1)^n*G(x), onde G(x) eh um polinomio 
> irredutivel sobre Q e n = 1 ou 2, dependendo de p. Mais precisamente:
>
> n = 1 se p = 5, 11, 17, 23, 29 e 41
>
> n = 2 se p = 7, 13, 19, 31, 37 e 43
>
> Perguntas:
>
> 1) A fatoracao acima ocorre para cada primo p ou serah que G(x) eh 
> redutivel para algum p?
>
> 2) Os primos para os quais n = 1 sao justamente os primos da forma 6k-1?
>
>  
>
> []s, Claudio.
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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