Re: [obm-l] QuestÃo de potencia

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Robÿffffe9rio Alves wrote:

> Qual o resultado da expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 e prove 
> que o resultado termina com um número divisível por 5.
>
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O pequeno teorema de Fermat nos diz que a^(p-1) ~ 1 (mod p) para todo p 
primo. Outro resultado interessante é que Z_p, os inteiros módulo p, 
formam um corpo e, portanto, cada elemento não-nulo de Z_p admite um 
inverso (único). Se a soma for a_1^99 + ... + a_k^99 (com nenhum a_j = 
0) podemos transformá-la em a_1^(100) * a_1^(-1) + ... + a_k^(100) * 
a_k^(-1).
Como para todo j temos a_j^4 = 1 pelo pequeno teorema de Fermat, a soma 
corresponde a a_1^(-1) + ... + a_k^(-1).

A expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 em Z_5 é equivalente a 1^99 
+ 2^99 + 3^99 + 4^99 que é equivalente a 1^(-1) + 2^(-1)+ 3^(-1) + 
4^(-1). Como cada elemento tem um inverso único (poderia dizer 
explicitamente que eles são, em ordem, 1, 3, 2, 4), é claro que tal soma 
é 1 + 2 + 3 + 4 = 0.

Abraços.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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