Re: [obm-l] Equao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Equao

Polinomio irredutivel sobre um corpo: polinomio que nao pode ser expresso como o produto de dois polinomios nao constantes com coeficientes nesse corpo.
Por exemplo, x^2 + 5x + 6 eh redutivel sobre Q pois eh igual a (x + 2)(x + 3).
Jah x^2 - 2 nao eh redutivel sobre Q, mas eh redutivel sobre R: (x + raiz(2))(x - raiz(2)).
Finalmente, x^2 + 1 nao eh redutivel sobre R mas eh sobre C: (x + i)(x - i).

Existe um teorema, devido a Gauss, que diz que se um polinomio com coeficientes inteiros eh redutivel sobre Q, entao ele eh redutivel sobre Z, ou seja, se f(x) pertence a Z[x] e f(x) = p(x)*q(x) com p(x) e q(x) em Q[x], entao existem polinomios p1(x) e q1(x) em Z[x] tais que f(x) = p1(x)*q1(x).

O criterio de Eisenstein diz o seguinte: dado f(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_(n-1)*x^(n-1) + a_n*x^n  em Z[x], 
se existe um primo p tal que: 
p divide a_0, a_1, ..., a_(n-1), 
p nao divide a_n, e
p^2 nao divide a_0,
entao f(x) eh irredutivel sobre Q.

As demonstracoes desses dois resultados nao sao muito dificeis mas sao um belo exercicio de teoria elementar dos numeros.

[]s,
Claudio.

on 10.03.05 08:07, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:

Caro amigo Cláudio...Se possível, gostaria de saber o que é um polinômio irredutível por Eisentein com p=2...Um grande abraço!

>x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 6x - 2 = 0 ==>
>polinomio irredutivel por Eisenstein com p = 2

Davidson Lima <davidson@math.com> wrote:

 Não meu amigo, a equação é x^2+1/(x+1)^2=3.

  Felicidades.

  Davidson Estanislau

rt Smith" <lord_qwert@hotmail.com> wrote:

From: "Qwert Smith" <lord_qwert@hotmail.com>
Date: Wed, 09 Mar 2005 23:08:06 -0500
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Equao

Sera que nao faltou um parentesis no numerador?

(x^2 + 1)/(x+1)^2=3


>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>
>Fazendo o obvio ==>
>x^4 + 2x^3 + x^2 + 1 = 3x^2 + 6x + 3 ==>
>x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 6x - 2 = 0 ==>
>polinomio irredutivel por Eisenstein com p = 2 ==>
>nao vejo nenhuma solucao bonitinha
>
>Essa equacao tem uma unica raiz real, igual a aproximadamente 1,6917395.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>on 09.03.05 18:35, Davidson Lima at davidson@math.com wrote:
>
>
> Meus amigos, como fao para! resolver a questo:
>
> x^2+1/(x+1)^2=3
>
> Desde j agradeo a ateno.
>
> Davidson Estanislau
>


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