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Oi Igor, tudo bom? A ideia por trás
desse problema eh bem razoavel, certo? Para n grande, sua sequencia eh "quase"
uma PG de razao r, portanto eh da forma a*r^n para algum a, donde (x_n)^(1/n)
tem limite r. Segue abaixo uma solução mais formal:
Lema: Se (Yn) tem limite a, entao
(y1+y2+...+yn)/n tem limite a.
Demo: Para
cada eps>0, existe N tq, fixando N'>N, vale a-eps < Yn <
a+eps para n= N+1, N+2, ... N' . Somando essas desigualdades:
(a-eps)*(N'-N) <
Y(N+1)+Y(N+2)...+Y(N') < (a+eps)*(N'-N)
Seja b = Y1+...Y(N).
Some b aos dois lados da eq. acima, divida tudo por N' e tome limite em N'
para obter:
a-eps <=
lim (Y(1)+Y(2)+...+Y(N')) / N' <= a+eps. Como isso vale para todo
eps>0, o lema está provado.
No seu problema especifico, tome Y(n)
= log(X(n)/X(n-1)). Essa sequencia tem limite log(r) (pq log eh continuo) e
portanto, esse tambem deve ser o limite da sequencia [Y(1)+Y(2)+...+Y(n)]/n =
[log(X(n))-log(X(0))]/n = log (X(n)/X(0))^(1/n). Como X(0)^(1/n) tende a 1, voce
conclui que
X(n)^(1/n) tende a r como desejado.
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