Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz

["carlos gomes" <cgmat@xxxxxxxxxxxxxx>]

Podemos fazer de modo elementar:
Se A e B são matrizes de orden n , tais que AB=I ==> BA=I.
BA=BIA=B(AB)A=(BA)(BA)=(BA)^2. Fazendo BA=S ,temos que S^2=S, como S=BA é 
invertível (produto de duas matrizes invertíveis , pois se AB=I é claro que 
det(AB)=detA.detB=1 e portanto detA e detB são não nulos e portanto A e B 
são invertíveis).Assim, se S^2=S, com S invertível, podemos multiplicar 
ambos os menbros por S^(-1) edaí temos que;
S.S=S => [S^(-1).S].S=S^(-1).S => I.S=I => S=I, mas S=BA e portanto BA=I.
Cgomes


De fato, BA=BIA
----- Original Message ----- 
From: "Jair Donadelli Junior" <jair@inf.ufpr.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, October 08, 2004 3:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz


On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote:
> O problema a seguir eh trivial?
>
> Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I.
> (I = matriz identidade)
>
> Problema adicional:
> Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos
> dizer sobre BA?

Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA
donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre
um subespaço de dimensão m.

Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B
como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora.
O que fica faltando é provar o seguinte lema:

 Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V
 nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes:

 (a) T é injetora;
 (b) T é sobrejetora;
 (c) T é inversível.

Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos
e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer
livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas
as seguintes hipóteses são necessárias:

 Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita.
 Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel.

A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das
casas de pombos lineares algo não trivial.

[]s, N.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e
 acredita-se estar livre de perigo.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================