[obm-l] urgente - alg. linear_polin�mio minimal

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

gostaria de uma ajuda nos problema abaixo:

 

1) Podemos dizer que AB e BA t�m o mesmo polin�mio minimal para todas matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas � n�o-singular?

 

2) Seja A: V --> V uma transforma��o linear, onde V � um K-espa�o vet. de dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto:

 

                             W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}.

 

Consegui verificar as seguintes afirma��es:

a) W(v) � um subspa�o A-invariante;

 

b) Se f(X,v) � o polin�mio minimal da restri��o de A a W(v), ent�o, para cada v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) � o polin�mio minimal de A;

 

c) Se um polin�mio h(X) pertencente a K[X] � divis�vel por f(X,v) para todo v em V, ent�o h(X) � divis�vel por m(X).

 

Por�m, naum consegui provar a afirma��o abaixo:

d) Prove que existe um v em V tal que f(X,v) = m(X).

 

Obs.: Estava tentando provar que existe u em V tal que f(X,u) = p(X,u), onde p(X,u) � o polin�mio caracte�stico da restri��o de A ao respectivo W(u). Com isso a afirma��o acima ficaria verificada usando o item c) e outras propriedades de polin�mio minimal.

 

3) Sejam R e S transforma��es K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim. finita. Se RS = SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais de R e S, respec.) tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n} tal que [R]_B e [S]_B  s�o diagonais.

 

grato desde j�, �der. 

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