[obm-l] somas de Newton [era: trigonometria]

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Gostei da sua solução.

Há um resultado conhecido como somas de Newton
que diz o seguinte: sejam
f(z) = z^n + c_1 z^{n-1} + ... + c_{n-1} z + c_n
e as raízes z_1, z_2, ... z_n .

As somas das potências S_k = sum_{p=1}^n z_p^k
são chamadas de somas de N. de f(z). As primeiras são
dadas por

S_0 = n = 1 + 1 + ... + 1
S_1 = - c_1 = z_1 + z_2 + ... z_n
S_2 = c_1^2 - 2c_2 = z_1^2 + z_2^2 + ... z_n^2
S_3 = 3(c_1c_2 - c_3) - c_1^3 = z_1^3 + z_2^3 + ... z_n^3
S_4 = ....

No seu caso, q(z) = z^3 - 4z^2 - 4z + 8  e queremos S_4 .
Aqui S_0=3,  S_1=4,  S_2=24,  S_3=88 e
S_4 = - c_1S_3 - c_2S_2 - c_3S_1 = 416.

Estas somas saem da recorrência abaixo:

S_k + c_1 S_{k-1} +  c_2 S_{k-2} + ... c_{k-1} S_1 + k c_k = 0
para k = 1,2,.....,n.

S_k + c_1 S_{k-1} +  c_2 S_{k-2} + ... c_n S_{p-n} = 0
para k = n+1, n+2, ....

Tirei isso de um livro do Herbert Wilf. Ele não menciona mas
acho que já vi resultados para k = -1,-2,....
Assim, S_{-1} = 1/z_1 + .... + 1/z_n.

Alguém conhece as expressões de S_k para k negativo?

[]'s
Luis

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] trigonometria
>Date: Wed, 26 Jan 2005 22:11:02 -0200
>
>Aqui vai a conclusao: ainda meio bracal mas nao tanto quanto a solucao que
>eu havia imaginado anteriormente...
>
>Sabemos que A + B + C = 1/2, AB + AC + BC = -1/2 e ABC = -1/8.
>
>Por Girard, A, B e C sao raizes de p(x) = x^3 - x^2/2 - x/2 + 1/8   ==>
>a = 1/A,  b = 1/B  e  c = 1/C sao raizes de q(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 8,
>onde:
>a + b + c = 4,  ab + ac + bc = -4  e  abc = -8.
>
>Queremos o valor de S = a^4 + b^4 + c^4.
>
>(a + b + c)^4 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc))^2  ==>
>4^4 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2*(-4))^2 ==>
>a^2 + b^2 + c^2 = 24
>
>(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) ==>
>24^2 = S + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)
>
>(ab + ac + bc)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) ==>
>(-4)^2 =  a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2*(-8)*4 ==>
>a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 80 ==>
>576 = S + 2*80 ==>
>
>S = 416.
>
>[]s,
>Claudio.
>
>on 26.01.05 18:39, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:
>
>Eu me surpreenderia bastante se a demonstracao disso ai nao usasse 
>complexos
>ou polinomios.
>
>Uma ideia que me ocorre eh fazer aparecer estes cossenos em algum 
>polinomio.
>Pra isso, vamos considerar as raizes 7as. da unidade e a seguinte fatoracao
>macetosa de x^7 - 1:
>
>x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(4pi/7)x + 1)(x^2 -
>2cos(6pi/7)x + 1).
>
>(a demonstracao eh facil: basta agrupar as raizes complexas conjugadas, ou
>seja,
>cis(2pi/7) com cis(12pi/7), cis(4pi/7) com cis(10pi/7), etc... )
>
>Mas, cos(4pi/7) = -cos(3pi/7)  e  cos(6pi/7) = -cos(pi/7).
>Logo:
>x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 + 2cos(pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 +
>2cos(3pi/7)x + 1).
>
>(x^7 - 1)/(x - 1) =
>x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 =
>(x^2 + 2cos(pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 + 2cos(3pi/7)x + 1)
>
>De agora em diante, pra simplificar, vamos fazer:
>A = cos(pi/7), B = -cos(2pi/7) e C = cos(3pi/7)
>
>De forma que:
>x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + Ax + 1)(x^2 + Bx + 1)(x^2 + Cx
>+ 1)     (1)
>
>Queremos o valor de:
>1/A^4  +  1/B^4  +  1/C^4 =
>((AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4)/(ABC)^4 = Num/Den
>
>Fazendo x = i em (1) e simplificando, obtemos a identidade:
>ABC = -1/8   (2)
>ou seja,
>Den = (ABC)^4 = 1/4096.
>
>Fazendo x = 1 em (1):
>(1 + A)(1 + B)(1 + C) = 7/8 ==>
>1 + A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 7/8
>
>Usando (2):
>A + B + C + AB + AC + BC = 0   (3)
>
>Fazendo x = 2 em (1) e usando (2) e (3):
>(5 + 4A)(5 + 4B)(5 + 4C) = 127 ==>
>125 + 100(A + B + C) + 80(AB + AC + BC) + 64ABC = 127 ==>
>20(A + B + C) = 2 - 80*0 - 64*(-1/8) = 10 ==>
>A + B + C = 1/2 ==>
>AB + AC + BC = -1/2
>
>Resta calcular Num = (AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4, o que pode ser feito em
>funcao de A + B + C, AB + AC + BC e ABC, mas as contas sao demais pra 
>mim...
>
>[]s,
>Claudio.
>
>on 26.01.05 13:56, cleber vieira at vieira_usp@yahoo.com.br wrote:
>
>
>Olá amigos,gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema:
>1) Provar que
>
>sec^4(pi/7)+sec^4(2pi/7)+sec^4(3pi/7)= 416
>

>


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