Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos

[kleinad@xxxxxxxxxx]

>Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que
>eh primo com os demais.

Finalmente, fazendo a coisa direito:

Dada a sequencia a_1,..., a_10 onde a_n = 1 + a_(n-1), seja A o conjunto dos
termos da sequencia congruentes a 1 ou a 5 módulo 6.

Se a_i é o elemento de A com menor índice, então i<=4 pois se a_1 == -3, -
2, -1,0, 1, 2 mod 6 então respectivamente os a_i seriam a_3, a_2, a_1, a_2,
a_1, a_4.

Evidentemente os únicos candidatos a elementos de A seriam a_i, a_(i+2), a_
(i+4), a_(i+6), a_(i+8), ou seja, elementos da forma a_(i+2k), com 0 <= k <=
4, logo a diferença entre 2 elementos quaisquer é da forma 2*x onde 1<=x<=3
==> a diferença entre dois números de A é múltipla de 2 e pode ser múltipla
de 3
==> se p divide dois elementos de A então p = 2 ou p = 3, absurdo.

Ainda, 3<= #A <= 4; isso pode ser visto considerando-se os dois casos
possíveis:

1) a_i == 1 mod 6. Nas desigualdades abaixo, os termos centrais estão com
certeza em A:
a_1<= a_i <= a_4
a_5 <=a_(i+4)<= a_8
a_7<=a_(i+6)<= a_10,

logo #A = 3.

2) a_i == -1 mod 6. Estão com certeza em A os centrais:

a_1 <= a_i <= a_4
a_3<= a_(i+2)<= a_6
a_7<= a_(i+6) <=a_10

e possivelmente a_9 <=a_(i+8)<=a_10, logo 3<= #A <= 4.

Observe que o maior primo comum a dois elementos a_k da sequencia é 7, visto
que se p divide dois a_k então ele divide a diferença que é menor ou igual a
9. Ainda, entre 10 números consecutivos, existe 1 ou 2 múltiplos de 7 e
exatamente 2 múltiplos de 5. Como os possíveis elementos de A são da forma a_
(i + 2k) e 4>= k >= 0, segue que não pode haver mais do que 1 múltiplo de 5
e 1 múltiplo de 7 em A, e como 3<= #A <= 4, é possível encontrar um elemento
em A que não seja divisível nem por 5 nem por 7. Sendo elemento de A, ele já
não é divisível por 2 nem por 3, ou seja, não possui nenhum fator primo
menor ou igual a 7, e portanto ele deverá ser primo com os demais.

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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