Re: [obm-l] Cardinalidade

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu nao domino muito este assunto, mas me parece que sua prova esta OK. Nao
me passou pela cabeca considerar a copia dc A, acho que foi uma saida bem
legal..
Na ultima linha de sua prova, houve um erro de digitacao, nao? O certo eh
card(B) <= card(A união A') = card(A), que, juntamente com a outra
desigualdadde, implica que card(A) = card(B), OK?
Artur
 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Cardinalidade
Data: 06/01/05 16:06

Artur Costa Steiner wrote:

>Boa tarde,
>
>Eu ainda nao consegui demonstrar o seguinte, talvez alguem tenha uma
sacada.
>
>Seja A um conjunto infinito e f uma injecao de A sobre B. Se o conjunto B -
>f(A) for, no maximo, enumeravel, entao A e B sao equivalentes.
>
>Artur
>
>________________________________________________
>OPEN Internet e Informática
>@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>
> 
>
Você quer mostrar que card(A) = card(B), certo?
Esse tipo de problema passa longe do que eu costumo fazer, mas vou tentar...
Defina A' como uma cópia de A.
card(A) = card(A união A') já que A é infinito

Sabemos que card(A) <= card(B) pois existe uma injeção de A em B.
Defina g: B -> A união A' da forma a seguir.
Para todo f(x) em f(A), g(f(x)) = x e
como card(B - f(A)) <= card(A), existe uma injeção de B - f(A) em A.
Seja h tal injeção, defina g(y) = h(y)' (onde h(y)' é a cópia de h(y) em A')
para todo y em B - f(A). É simples ver que g é uma injeção e, portanto

card(A) <= card(B) <= card(A união A') = card(A)

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