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Caro Tertuliano,
Tudo bem ? Olha, eu acho que isso sai direto da definicao da integral de Cauchy. Seja z0 o ponto interior a curva C e z um ponto da fronteira. Vou denotar por INT_c a integral de linha ao longo da curva C. Entao, como a funcao e holomorfa, temos que f(z0) e dada por:
f(z0) = (1/2pi.i) . INT_c (f(z)/(z-z0)) dz
Portanto, tomando o modulo de f(zo) temos,
|f(z0)| = | (1/2pi.i) . INT_c (f(z)/(z-z0)) dz |
|f(zo)| = (1/2pi) |INT_c (f(z)/z-z0)dz | <= (1/2pi).INT_c |f(z)/z-z0| dz . Seja k = f(z) quando z pertence a C, e o fato de que d=|z-z0| , entao,
|f(z0)| <= k(1/2pi) INT_c (dz/|z-z0|) = k.(1/2pi.d).INT_c dz = k.(1/2pid).L(c) onde L( c ) = INT_C dz e o comprimento da curva C.
Acho que e isso. Se fiz errado alguma coisa, por favor, me corrijam.
(Material sobre a Integral de Cauchy para rapida consulta: http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html )
Regards,
Leandro Los Angeles, CA.
-----Original Message-----
Olá para todos! Se alguém puder me ajudar com este exercicio ficarei muito grato.
Sejam f uma função holomorfa num dominio U, q contem a regiao compacta determinada por uma curva de Jordan suave por partes C, e z um ponto interior a essa regiao. Se k é o maximo de /f/ ao longo de C e d é a distancia minima de z a C, entao /f(z)/ é menor ou igual a k[L(c)/2pi.d]^(1/n), para todo n natural nao nulo, onde L(C) indica o comprimento da curva C.
Um abraço!
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