[obm-l] Re: [obm-l] Variáveis complexas

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Oi Tertuliano,

1) Suponha que f(z) =! 0, para todo z em U. Considere g = 1/f. Então g tem
um máximo local, a dizer z = a, e portanto deve ser constante.

2) Vamos mostrar que f^(n+1)(z) = 0, para todo z em U. De fato, tome r >
max{R, |z|}. Então pela fórmula integral de Cauchy temos:

f^(n+1)(z) = [(n+1)!/2.pi.i]int(|w|=r)(f(w)dw/(w-z)^(n+2)) =>
|f^(n+1)(z)| <= [(n+1)!/2.pi]int(|w|=r)(|f(w)||dw|/|w-z|^(n+2)) 
            <= [(n+1)!/2.pi](M.r^n).(2.pi.r)/(r-|z|)^(n+2)= 
            = M.(n+1)!.r^(n+1)/(r-|z|)^(n+2) =
            = M.(n+1)!/[r(1-|z|/r)^(n+2)] -> 0 qdo r -> infty.
 Isso garante que f^(n+1) é ltda e portanto, pelo Teorema de Liouville,
é constante. Assim, f é um polinômio de grau <= n.  

 Abraços,
 
Yuri
-- Mensagem original --

>Feliz ano novo para todos da lista. Gostaria que me ajudassem nesses problemas:
> 
>1) Seja f : U em C (complexos) uma funcao holomorfa, onde u é um domínio.
>Suponha q exista um ponto a em U tq /f(a)/ é menor ou igual a /f(z)/ para
>todo z em U. Mostre q ou f(a) = 0 ou f é uma funcao constante. 
>Obs.: /x/ representa a norma de x.
> 
>2) Seja f uma funcao inteira (holomorfa em todo plano complexo C) e suponha
>q existem M, R positivos e n maior ou igual a 1 tq /f(z)/ é menor ou igual
>a M/z/^n para /z/ maior ou igual a R. Mostre q f é um polinomio cujo grau
>máximo é n.
> 
> 
>Grato,
>Tertuliano Carneiro       
>
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Até mais, 

Yuri



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