Re: [obm-l] funcao continua

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Sejam x1 e x2 elementos de R^p. Para todo y de A, temos que d(x1,A) <= ||x1
- y|| <= ||x1 - x2|| + ||x2 - y||. Logo, d(x1,A) <= inf{||x1 - x2|| + ||x2 -
y|| : y pertence a A} = ||x1 - x2|| + inf{||x2 - y|| : y pertence a A} =
||x1 - x2|| + d(x2,A), de modo que d(x1,A) - d(x2,A) <= ||x1 - x2||. Como
desigualdade similar vale se permutarmos x1 e x2, temos que |d(x1,A) -
d(x2,A)| <= ||x1 - x2||, o que mostra que a funcao d nao apenas eh continua,
mas, ateh mesmo, Lipschitz (logo, uniformrmente continua).
Esta conclusao independe de A ser aberto, fechado, ou o que quer que seja
(supondo-se A nao vazio).  

Como 0 <2/3 <1, 2/3)^n}M -> 0 quando n -> oo (Estou assumindo que M eh um
numero positivo fixo). A  condicao ||(gm) - (gn)||<= {(2/3)^n}M para m>n
implica entao, que se n for suficientemente grande e m>n, o primeiro membro
da desigualdade torna-se tao proximo de 0 quanto se queira - justamente o
criterio de Cauchy para convergencia uniforme.
Artur

 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] funcao continua
Data: 29/11/04 16:04

Seja d{x,A}, definida em R^p e tomando valores em R , 
onde d{x,A} = inf{ ||x-y|| : y pert. a A} e A eh um subconj. fechado de R^p.
Prove que essa fç eh continua. 

Se (gk) eh uma seq. de funcoes tal que 
se m>=n temos ||(gm) - (gn)||<= {(2/3)^n}M explique pq o criterio de Cauchy
eh satisfeito e portanto a convergencia eh uniforme.

Desde jah agradeco

[]s

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