RE: [obm-l] Cubo Remontado

["Rogerio Ponce" <rogerio_ponce@xxxxxxxxxxx>]

Olá Claudio,

de um total de t=n^3 cubinhos, v=8 deles pertencem aos vertices,  a=12*(n-2) 
às arestas,
e f=6*(n-2)^2 às faces. O resto, r=(n-2)^3 pertence ao 'miolo' , e não é 
visível.

A probabilidade de selecionarmos os cubinhos tipo 'vertice' corretos é :
  v! * (t-v)! / t!

A probabilidade de selecionarmos os cubinhos tipo 'aresta' corretos é :
  a! * (t-v-a)! / (t-v)!

A probabilidade de selecionarmos os cubinhos tipo 'face' corretos é :
  f! * (t-v-a-f)! / (t-v-a)!

Além disso, a probabilidade dos cubinhos tipo vértice estarem com a 
orientação correta é
(1/8) ^ v  (isto é, o único vértice "certo" do cubinho tem que estar "para 
fora" )

Também, as arestas precisam estar com a orientação correta, com a 
probabilidade de
(1/12) ^ a   (isto é, a única aresta correta para fora)

Da mesma forma, as faces precisam estar 'para fora' , com a probabilidade de
(1/6) ^ f


Multiplicando tudo, obtemos o resultado
v! * a! * f! * r!  /  [ t! * 8^v *12^a * 6^f ]

Talvez haja uma forma mais bonitinha de expressá-lo...


Grande abraço e bom fim de semana a todos!
Rogério.




>From: Claudio Buffara
>
>Um cubo, originalmente feito de madeira branca, tem suas faces pintadas de
>preto. Em seguida, este cubo eh serrado de forma a produzir 27 cubinhos,
>todos com o mesmo volume, os quais sao devidamente "embaralhados".
>Finalmente, os 27 cubinhos sao reagrupados no escuro de forma a produzir um
>novo cubo de mesmo volume que o original.
>
>1) Qual a probabilidade deste cubo remontado ter todas as faces pretas?
>(faca a hipotese obvia sobre equiprobabilidade)
>
>2) Generalize para o caso de n^3 cubinhos.
>
>[]s,
>Claudio.
>

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