Re: [obm-l] maximo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 11.11.04 23:08, Eduardo Henrique Leitner at eduardo.leitner@terra.com.br
wrote:

> olá pessoal, eu não consigo de jeito nenhum achar o máximo dessa expressão:
> 
> 
> n/{5 + [1/(a_1)] + [1/(a_2)] + [1/(a_3)] + ... + [1/(a_n)]}
> 
> em que todas as letras (n, a_1, a_2, a_3, ..., a_n) pertencem ao naturais nao
> nulos e:
> 
> a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = 32
> 

Para n fixo, o valor maximo da expressao ocorre quando:
1/a_1 + ... + 1/a_n eh minimo.

Como os a_i sao inteiros positivos, o valor minimo de 1/a_1 + ... + 1/a_n
vai ocorrer quando eles forem o mais proximo possivel uns dos outros.
Basta ver que para x positivo e |x| > |a| > |b|, vale sempre:
1/(x+a) + 1/(x-a) >= 1/(x+b) + 1/(x-b), com igualdade <==> |a| = |b|.

Ou seja, supondo que a_1 >= a_2 >= ... >= a_n, teremos que:
a_1 = ... = a_r = [32/n]+1 e a_(r+1) = ... = a_n = [32/n],
onde: 
r = resto da divisao de 32 por n;
[x] = parte inteira de x = piso(x).
(repare que isso garante que a_1 + ... + a_n = 32)

Assim, dado n, o valor maximo da expressao serah igual a:
f(n) = n/(5 + r/([32/n]+1) + (n-r)/[32/n]).

Naturalmente, n deve ser <= 32. Caso contrario, a restricao dos a_i serem
inteiros nao seria obedecida.

Em suma, basta calcular o valor de f(n) para n = 1, 2, ..., 32 e tomar o
maior deles. Com um computador isso eh feito facilmente resultando em:
n = 11 ==> [32/n] = 2, r = 10 ==> f(n) = 11/(5 + 10/3 + 1/2) = 66/53

Ou seja, o valor maximo da expressao eh igual a 66/53 e ocorre quando:
n = 11,  a_1 = ... = a_10 = 3,  a_11 = 2.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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