Re: [obm-l] numero aureo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] numero aureo

on 31.10.04 14:15, eritotutor at eritotutor@bol.com.br wrote:
> Ainda sobre numero aureo:
> Sabendo que tg (nk) pode ser reescrita em funcao de 1, tgk, (tgk)^2, ..., (tgk)^n . Prove que os coeficientes que aparecem nessa expressão sao obtidos do triangulo de Pascal.
>  
> Pondo t = tg(k)  e  x(n) = tg(nk), teremos:
> x(1) = t
> x(2) = 2t/(1 - t^2)
> x(3) = (3t - t^3)/(1 - 3t^2)
> x(4) = (4t - 4t^3)/(1 - 6t^2 + t^4)
>
> Ou seja, as expressoes a que voce se refere sao funcoes racionais (quocientes de polinomios) em t e uma conjectura razoavel parece ser a seguinte:
> x(n) = I_n(t)/R_n(t), onde R_n(t) e I_n(t) sao, respectivamente, as partes real e imaginaria de (1 + it)^n.
>
> Isso eh facil de demonstrar.
> Basta escrever: 1 + it = raiz(1 + t^2)*cis(k), onde tg(k) = t.
> Logo, (1 + it)^n = (1 + t^2)^(n/2)*cis(nk) ==> 
> x(n) = tg(nk) = sen(nk)/cos(nk) = Im((1 + it)^n)/Re((1 + it)^n) = I_n(t)/R_n(t)
>
> Obviamente, todos os coeficientes de (1 + it)^n vem da n-esima linha do triangulo de Pascal, o que demonstra a sua afirmacao original.
>
> Eu soh nao entendi a relacao entre isso e o numero aureo (apesar do triangulo de Pascal conter uma sequencia de Fibonacci enviesada)
>
> []s,
> Claudio.