Re:[obm-l] m^n = n^m

[Ana Evans <ana_ev@xxxxxxxxx>]

Obrigada Claudio, a solucao e muito legal.
Ana


--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> Como n�o podia deixar de ser, inverti o sentido das
> desigualdades no fim da minha solu��o. Felizmente, a
> conclus�o n�o foi afetada. Segue abaixo a
> corre��o...
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> C�pia:
> 
> Data:Tue, 26 Oct 2004 20:40:39 -0300
> 
> Assunto:Re:[obm-l] m^n = n^m
> 
> 
> 
> >
> > � claro que (n,n) � solu��o para cada inteiro
> positivo n.
> 
> > Suponhamos que 1 <= m < n  e  que m^n = n^m.
> >
> > Se m = 1, ent�o 1^n = n^1 ==> n = 1 (solu��o
> inv�lida pois estamos supondo que m < n).
> >
> > Se m = 2, ent�o 2^n = n^2 ==> n = 4 (a solu��o n =
> 2 n�o � v�lida pois estamos supondo que m = 2 < n).
> � f�cil provar por indu��o que, para n >= 5, 2^n >
> n^2.
> >
> > Assim, suponhamos que 3 <= m < n.
> >
> > Considere a fun��o f:[3,+inf) -> R dada por f(x) =
> log(x)/x ==>
> > f'(x) = (1 - log(x))/x^2 < 0 para x >= 3 ==>
> > f � mon�tona decrescente ==>
> > para 3 <= m < n, log(m)/m > log(n)/n ==>
> > n*log(m) > m*log(n) ==>
> > m^n > n^m ==>
> >
> > A �nica solu��o (x,y) com x < y � (2,4).
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> > Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> > C�pia:
> 
> > Data:Tue, 26 Oct 2004 14:39:43 -0700 (PDT)
> 
> > Assunto:[obm-l] m^n = n^m
> 
> >
> 
> > > Boa noite
> > >
> > > Um problema interessante e que lembra um que o
> Claudio
> > > sugeriu sobre o numero e consiste em provar que,
> alem
> > > da solucao trivial com m=n=1, a equacao
> diofantina m^n
> > > = n^m tem uma e apenas uma solucao (considerando
> que,
> > > se (a,b) ? solucao, entao (b,a) e a mesma
> solucao).
> > > Por inspecao verificamos que (2,4) atende, mas
> ainda
> > > estou tentando provar que e a unica solucao.
> > > Ana
> > > 



		
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