Re: [obm-l] Sequencia densa em f(I)

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eu nao sou o Claudio e muito menos profundo conhecedor de Mat....Mas acho
que eu fiz algum comentario deste tipo em alguma mensagem antiga.

Uma possivel prova eh a seguinte. Para esta prova, precisamos saber que, se
p>0 eh irracional, entao o conjunto A = {m*p + n | m eh inteiro, n eh
inteiro positivo}, eh denso em [0, oo). Isto foi discutido aqui na lista hah
pouco mais de de um ano atras, sob o titulo de "conjunto denso em R", se nao
me engano. Foram discutidas provas baseadas no principio da casa dos pombos
e em fracoes continuas. 

Para organizar as ideias, vamos antes demonstrar o seguinte lema:

Se p>0 for irracional e A tiver a definicao dada anteriormente, entao, para
todo x pertencente a I, existe em A uma sequencia {x_i} = {m_i*p + n_i}, com
m_i e n_i>0 inteiros, que converge para x e eh tal que a sequencia {n_i} eh
monotonicamente crescente.

Demonstracao: Todo x de I eh ponto de acumulacao de I. Como A eh denso em R,
temos que todo x de I eh ponto de acumulacao de A. Logo, existe em A uma
sequencia {x_i} que converge para x e tem seus termos distintos dois a dois.
Afirmamos que {n_i} contem uma infinidade de termos distintos. De fato, se
{n_i} contivesse um numero finito de termos distintos, entao para algum
inteiro positivo n a igualdade n_i = n teria  necessariamente que vigorar
para uma infinidade de indices i. Escolhendo convenientemente tais indices,
obteriamos uma subseq. de {x_i} da forma {x_i_j} = {m_i_j*p + n}. Como os
termos desta subseq. sao distintos 2 a 2, temos que os m_i_j tem tambem que
ser  distintos 2 a 2. Para todos indices distintos j e k, teriamos entao que
|x_i_j - x_i_k| = |m_i_j - m_i_k|*p >= p>0, pois p>0 e |m_i_j - m_i_k| >=1,
visto que m_i_j e m_i_k sao inteiros positivos distintos. Disto concluimos
que {x_i_j} nao eh uma seq. de Cauchy e que, desta forma, nao eh
convergente. Mas isto contraria o fato de que (x_i_j}, por ser subseq. de
{x_i}, que converge para x, tem tambem que convergir para x. 
Como existem entao uma infinidade de inteiros positivos distintos n_i,
podemos escolher convenientemente os idices i, em ordem crescente, de modo a
obter uma subseq. {x_i_j) de {x_i} tal que {n_i_j} seja monotonicamente
crescente. Como esta subseq eh uma seq. de A que converge para x, o lema
fica demonstrado. 

Se y pertence a f(I), entao y = f(x) para algum x de I. Segundo o lema que
demonstramos, existe em A uma  seq. {x_i} = {m_i*p + n_i} com {n_i}
monotonicamente crescente. A continuidade de f implica que f(x_i) -> f(x) =
y. Para cada i, f(x_i) = f(m_i*p + n_i) = f(n_i), em virtude de p ser
periodo de f. Como {n_i} eh uma seq. crescente de inteiros postivos,
segue-se que f(n_i) eh uma subseq. de f(n) que converge para y. E como isto
vale para todo y de f(I), concluimos que f(n) eh densa em f(I). E f(I) =
f(R), conforme vc disse.
Interessante observar que a hipotese de que p seja irracional eh de fato
essencial. Se p for racional, o conjunto A nao tem que ser denso em R e os
argumentos apresentados nao mais valem. A seq. {sen(pi*n), cujo periodo
fundamental eh 2, nao eh densa em [-1, 1]. 

Artur 


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