Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Bem, voce quer saber se existem a e b tais que

 

a^2+b^2-1

a^2+b^2+1

sao ambos somas de quadrados, e quais sao todos eles?? E, boa sorte :-). Serio, e meio chato resolver esses tipos de problema, e Pell e a melhor arma para esse tipo de coisa.

Agora para o segundo vai uma dica baseada (e daqueles beeem grandes!)  numa certa experiencia (bem pequena, e verdade...): use inducao. Nao sei aonde mas induçao e sempre uma arma a se considerar.

 

Paulo Rodrigues <pauloemanu@uol.com.br> wrote:

Existem várias maneiras de resolver o 1.

Uma delas está em http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?p=385#385
----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara"
To: "Lista OBM"
Sent: Monday, October 18, 2004 9:55 AM
Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas


> Aqui vao dois que estao me dando uma canseira:
>
> 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2
sao
> todos somas de dois quadrados de inteiros.
>
> 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh
uma
> raiz primitiva mod p.
>
> No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois
> quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece
> na decomposicao desse inteiro com expoente par.
>
> Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra
hipotese
> vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a
> presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar.
>
> Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o
> quadrado de um inteiro par. Isso resultou em:
> n = 4y^2 + 0^2
> n+1 = 4y^2 + 1^2
> n+2 = 4y^2 + 2.
> Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos:
> 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas
> solucoes, o que resolve o problema.
>
> No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples.
> Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima.
> Por exemplo:
> 72 = 6^2 + 6^2
> 73 = 8^2 + 3^2
> 74 = 7^2 + 5^2.
> Serah que eh possivel achar todas as solucoes?
>
> *****
>
> No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro
> positivo, mas isso foi tudo que eu consegui.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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