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Re: [obm-l] Parcelas de 1998



Title: Re: [obm-l] Parcelas de 1998
Eu soh disse que, se nao nos restringirmos a parcelas inteiras, 666 parcelas iguais a 3 nao eh a solucao otima. Existe uma solucao cujo produto eh maior, apesar das parcelas serem irracionais. E como estamos tratando de numeros muito grandes, tais como 3^666, eh mais facil comparar os seus logaritmos naturais.

[]s,
Claudio.

on 15.10.04 21:15, Faelccmm@aol.com at Faelccmm@aol.com wrote:

Claudio,

Poderia ser mais claro ? Pois são problemas de nível olímpico, resolvi começar a estudar estes tipos de problema -- através da Eureka -- há pouco tempo.


Em uma mensagem de 15/10/2004 20:03:31 Hora padrão leste da Am. Sul, claudio.buffara@terra.com.br escreveu:




O enunciado nao diz que as parcelas devem ser inteiras.

Com 666 parcelas igaus a 3, o logaritmo do produto serah igual a 731,67578.

Por outro lado, se tivermos 734 parcelas iguais a "e" (base dos logaritmos naturais) e uma igual a 1998 - 734*e, o logaritmo do produto serah 735,02286.

[]s,
Claudio.

on 15.10.04 18:50, Faelccmm@aol.com at Faelccmm@aol.com wrote:

Olá pessoal !

Abaixo esta um problema e sua solução. Tive dúvidas em algumas passagens.

Passagem 01)

(i) se n (n > 4) é par, temos (n/2)*(n/2) > n
(ii) se n (n > 3) é ímpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) > n

Eu entendi as desigualdades acima, mas não entendo qual a relação dela com o problema. Por que o autor da solução as criou ?

Passagem 02)

Com as observações (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} ...

Eu até entendo que (i) U (ii) = (n >= 5), mas não entendi a afirmação acima ?!

***************************************************************************************************************************
Escreva 1998 como soma de (um número arbitrário de) parcelas
de modo que o produto das parcelas seja o maior possível.


SOLUÇAO:

Observe inicialmente que, dado n pertencente a N,

(i) se n (n > 4) é par, temos (n/2)*(n/2) > n
(ii) se n (n > 3) é ímpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) > n

Sejam 1998 = n_1 + n_2 + n_3 + S n_k e
P = n_1*n_2*n_3*n_k

Com as observações (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} e como 4 = 2*2
podemos substituir 4 por "2 + 2" e teremos n_i pertencente a {1, 2, 3} logo P = [1^(alfa)]*[2^(beta)]*[3^(gama)]. É evidente que alfa = 0, pois se alfa = 1, 31+22 pode ser substituído por um 3 e "1 + 3" pode ser substituído por "2 + 2". Também beta =< 2, pois "2 + 2 + 2" pode ser substituído por "3 +3" ( 3*3 > 2*2*2) e conseqüentemente
P = [2^(beta)]*[3^(gama)] com (beta = 1 ou 2). Como 1998 = 3*666 + 0,
P = 3^666 e S = 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 (666 vezes)