Re: [obm-l] 2^n + 3^n <> k^m

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

 --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu: 
> Aqui vai a generalizacao de um problema que mandei
> pra lista na semana
> passada:
>  
> Prove que nao existem inteiros positivos n, m, k,
> com m > 1, tais que:
> 2^n + 3^n = k^m
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> Ola,

Vamos por partes, desta vez vamos considerar apenas o
caso de n = impar.

Neste caso podemos usar a fatoração:
3^n + 2^n = (3 + 2) * S(n), onde S(n) = 3^n-1 -2*3n-2
+2^2*3^n-3 + ... + 2^n-1

Note-se que k^m é divisível por 5, porque aparece o
termo (3 + 2) na fatoração. 
E o fator 5 deve aparecer com grau m se k^m for uma
raiz exata grau m, isto é:
k^m = 5^m * x^m

Agora reescrevendo: 
k^m = 3^n + 2^n = (5-2)^n + (5-3)^n = 2*5^n
-n*(3+2)5^n-1 + ... +n*5(3^n-1 + 2^n-1) -3^n -2^n
2*(k^m) = 2*(3^n + 2^n) = 2*5^n -n*(3+2)5^n-1 + ...
+n*5(3^n-1 + 2^n-1)  = P1

Observando o último termo em P1, n*5(3^n-1 +
2^n-1),notamos que: 
n-1 é par por hipótese. Sem sermos rigorosos e apenas
enumerando as potências de 2 e 3, vamos afirmar que a
soma de duas potencias pares de 3 e 2 nunca é
divisível por 5:
n  :  1 2  3  4   5   6    7    8     9     10     11 
   12 ...
2^n:  2 4  8 16  32  64  128  256   512   1024   2048 
 4096 ... 
3^3:  3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683  59049 177147
531411 ...
De fato, para n par 3^n + 2^n não é fatorável na forma
(2 + 3) * S´(n).

Todos os termos da soma P1 são divisíveis por 5^n-z,
portanto, todos os termos são divisíveis por 5 pelo
menos duas vezes,
exceto o último termo, n*5(3^n-1 + 2^n-1), que:
- se n for múltiplo de 5 será divisível por 5 mais de
uma vez;
- se n não for múltiplo de 5 será divisível por 5
apenas uma vez; 

De fato:
3^2 + 2^3 = 8 + 27 = 35 = 7*5
3^5 + 2^5 = 275 = 11 * 5^2


Vamos considerar por enquanto apenas o caso de n ímpar
não divisível por 5.
Neste caso P1 é divisível por 5 apenas uma vez, já que
todos os termos da soma são divisíveis por 5 mais de
uma vez e um único termo é divisível uma vez.
Isto já é suficiente para provar este caso, já que 5
aparece com grau 1 em P1 e necessariamente deveria
aparecer com grau m.

Agora falta n ímpar divísível por 5 e n par...

Sds,

Demétrio

>  

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