Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos

["Osvaldo Mello Sponquiado" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

> >Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para 
nenhum inteiro positivo n.

> 2^n + 3^n é ímpar, logo se x^2 = 2^n + 3^n então x^2 
~ 1 (mod 4).
> para n >= 2, temos que x^2 ~ 3^n (mod 4), logo n é 
par.
> seja n = 2r.
> 2^(2r) + 3^(3r) = x^2

Apenas corrigindo um erro numérico aqui seria 3^(2r)
> 3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r)
> como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s
> x - 2^r = 3^s  .... (1)
> x + 2^r = 3^(2r - s) .... (2)
> 
> (1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s)
> note que s < 2r - s e, 



Até aqui eu saquei, tem como explicar essa parte entre 
aspas abaixo melhor ?


"portanto, 3^s divide x
> mas se s > 0 então 2^n = x^2 - 3^n e 3 divide o lado 
direito, o que é
> absurdo."


> se s = 0, então x - 2^r = 1 => x = 2^r + 1
> x + 2^r = 2^(r + 1) + 1 < 3^(2r), absurdo.



Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
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