Re: [obm-l] M últiplos de 9 - problema de 5ª série

[Faelccmm@xxxxxxx]

Valeu Cláudio ! Mas achei pensei numa solução diferente e bem mais simples ! Não sei se está certo !

Para n > 3

Múltiplos de 9 menores que 10^n


(eqn) x1+x2+...+xn = 9(n-2) |===========| (eqn-a) x1+x2+...+xn = 9(n-1)
(eq(n-1)) x1+x2+...+x(n-1) = 9(n-2) |===========| (eq.(n-1)-a) x1+x2+...+x(n-1) = 9(n-1)
(eq(n-2)) x1+x2+...+x(n-2) = 9(n-2) |===========| (eq.(n-2)-a) x1+x2+...+x(n-2)  = 9(n-1)

(...)

(eq2) x1+x2 = 9(n-2) |===========| (eq.2-a) x1+x2 = 9(n-1)

O que temos que provar é que 

(eq2 +...+eqn) > (eq2-a +...+ eqn-a)

Se provarmos que eqn>eqn-a, eq(n-1)>eq(n-1)-a, ..., eq2>eq2-a então a desigualdade acima estará provada e a questão resolvida.
Como cada incógnita varia de 0 a 9, então o total de "espaços livres" na equação
(eqn) x1+x2+...+xn = 9(n-2)  > (eqn-a) x1+x2+...+xn = 9(n-1) 

Espaços livres de (eqn) =  9*n - 9*(n-2)
Espaços livres de (eqn-a) =  9*n - 9*(n-1)

Espaços livres de (eqn) > Espaços livres de (eqn-a)

Como os espaços livres deixados pelas equação cuja soma é 9(n-2) é maior que os deixados por aquelas cuja soma vale 9(n-1), temos mais possibilidades de preenchimento (nº de soluções) naqueles de soma 9(n-2).






Em uma mensagem de 8/10/2004 11:09:46 Hora padrão leste da Am. Sul, claudio.buffara@terra.com.br escreveu:


> Uma sugestao:
>
> Sejam A(n-1) e A(n-2) os conjuntos dos multiplos de 9 inferiores a 10^n cujas somas dos algarismos sao 9(n-1) e 9(n-2), respectivamente.
>
> Prove que existe uma sobrejecao de A(n-2) em A(n-1) (o mais facil eh exibir uma) mas que nao existe nenhuma de A(n-1) em A(n-2) ou, alternativamente, que nenhuma funcao de A(n-2) em A(n-1) eh injetiva.
>
> []s,
> Claudio.
>
> on 08.10.04 02:35, Faelccmm@aol.com at Faelccmm@aol.com wrote:
>
> > Na verdade é um problema olímpico (Cone Sul), mas coloquei "problema de 5ª série" sem nenhuma ironia, mas apenas enfatizando a criatividade do examinador que ao criar este problema, que possui conceitos de Ens.Fun., faz com que até mesmo aqueles que fazem pós em Matemática não saibam resolvê-lo sem utilizar matemática  de superior. Acredito que haja alguma solução de E.M (envolvendo binomiais), ou melhor, vou mais longe. Pelos elementos do enunciado, deve haver uma solução bem mágica e elegante com conceitos de E.F (múltiplos, divisores, etc...). De qualquer forma, tentei resolver utilizando conceitos de E.M, mas não sei se está certo ou não. 
> > Vejam e, se possível, me corrijam ... 
> >
> >
> > Em uma mensagem de 7/10/2004 01:16:55 Hora padrão leste da Am. Sul, Faelccmm@aol.com escreveu: 
> >
> >
> > > Olá pessoal, 
> > >
> > > O problema abaixo já passou pela lista, mas não tinha entendido a resolução, foi a partir daí que resolvi tentar uma outra resolução para ele. Abaixo esta o problema e a resolução. Se errei em algo, me digam por favor ! 
> > >
> > >
> > > Seja n um número natural, n > 3. 
> > > Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).