Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.10.04 21:04, Domingos Jr. at dopikas@uol.com.br wrote:

> Claudio Buffara wrote:
> 
>> Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n.
>> 
>> 
>> 
> 
> 2^n + 3^n é ímpar, logo se x^2 = 2^n + 3^n então x^2 ~ 1 (mod 4).
> para n >= 2, temos que x^2 ~ 3^n (mod 4), logo n é par.
> seja n = 2r.
> 2^(2r) + 3^(3r) = x^2
> 3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r)
> como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s
> x - 2^r = 3^s  .... (1)
> x + 2^r = 3^(2r - s) .... (2)
> 
> (1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s)
> note que s < 2r - s e, portanto, 3^s divide x
> mas se s > 0 então 2^n = x^2 - 3^n e 3 divide o lado direito, o que é
> absurdo.
> se s = 0, então x - 2^r = 1 => x = 2^r + 1
> x + 2^r = 2^(r + 1) + 1 < 3^(2r), absurdo.
> 
> [ ]'s
>
Essa foi essencialmente a mesma demonstracao que eu achei. A unica diferenca
eh que, no caso de n par, eu fiz 2^(2r) = (x - 3^r)(x + 3^r).

No entanto, me mostraram essa aqui:
n = 2r ==> 2^n + 3^n = 4^r + 9^r == (-1)^r + (-1)^r == 2 ou 3 (mod 5)
Mas 2 e 3 nao sao quadrados mod 5.

[]s,
Claudio.




=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================