[obm-l] Álgebra/Monomorfismo Corpos Primos

["lgita-2002" <lgita-2002@xxxxxxxxxx>]

Alguém saberia esclarecer esta sutileza:

1)Seja K é um corpo de característica p>0. Se f:K->K, f
(x)=(x)^{p} para todo elemento de K então f é um 
monomorfismo.

Pensei ter entendido satisfatoriamente a demonstração 
mas, lendo um pouco mais me deparei com:

2)Se K é um corpo primo e f é um monomorfismo então 
f(x)=x.

Qual a sutileza? As duas afirmações acima me parecem 
contraditórias se o corpo for de caracterísitca p>0! 

Em 2) eu conseguir porvar a identidade apenas no caso 
do corpo primo ter característica zero (isomorfo a Q). 
Minha demonstração está abaixo. Alguém poderia me 
ajudar com o caso de corpo de característica p>0??

Sei que essencialmente existem apenas dois corpos 
primos: Q (racionais) e Z_{p}.

Para demonstrar em Q que f(q)=q fiz:
f(1)=1,
f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2
Por indução
f(m)=m;

Ainda se n é diferente de zero temos que 
f(n)!= 0 (diferente de zero) pois f é monomorfismo;
Assim, seja n um inteiro nao-nulo:
1=f(1)=f(n*n^(-1))=f(n)*f(n^(-1)) ->
f(n^(-1))=f(n)^(-1)
Mas f(n)=n se n é inteiro => f(n^(-1))=1/n

Portanto, se f(m/n)=m/n o que termina a demonstraçao 
no caso do corpo ter caracteristica zero (isomorfo a Q)

Para o caso de corpos de característica p>0 não 
consegui concluir nem perceber a sutileza com relação 
a afirmação 1.

Um abraço,
Luiz Gustavo
 
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