Re: [obm-l] Álgebra/Extensões finitas deCorpos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Basta provar que b tem grau n sobre F(a), pois nesse caso teremos
[F(a,b):F(a)] = n e, portanto,[F(a,b):F] = [F(a,b):F(a)]*[F(a):F] = n*m.

Suponhamos que [F(a,b):F(a)] = r e [F(a,b):F(b)] = s.

Entao, teremos: 
[F(a,b):F] = [F(a,b):F(a)]*[F(a):F] = r*m
e tambem
[F(a,b):F] = [F(a,b):F(b)]*[F(b):F] = s*n.
Logo, r*m = s*n e, como mdc(m,n) = 1, concluimos que r = k*n e s = k*m, para
um dado inteiro positivo k.

Mas tambem eh verdade que o polinomio minimal de b sobre F(a) tem grau igual
ou inferior ao do polinomio minimal de b sobre F.
Ou seja, r = [F(a,b):F(a)] <= [F(b):F] = n.
Dai temos que r = k*n <= n ==>
k <= 1 ==> 
k = 1 ==> 
r = [F(a,b):F(a)] = n.

[]s,
Claudio.

on 07.10.04 13:34, lgita-2002 at lgita-2002@bol.com.br wrote:

> Pessoal,
> 
> Alguém poderia me ajudar com a seguinte problema:
> 
> Sejam K um corpo e F um subcorpo de K. Se "a" e "b"
> são elementos de K algébricos sobre F com graus "m"
> e "n", respectivamente, (ou seja m e n são os graus
> dos polinôminos irredutíveis que têm, respectivamente,
> a e b com raízes) tais que mdc(m,n)=1 então a dimensão
> da extensão simples F(a,b) sobre F é m*n (ou seja, a
> dimensão de F(a,b) com espaço veotioral sobre F é m*n).
> 
> Já vi que se m e n não forem relativamente primos
> então [F(a,b):F]<m*n. O exemplo que usei foi:
> K= R = conj. dos reais; F= Q conj. dos racionais.
> 
> \sqrt[2]{2}=Raiz quadrada de 2 tem polinômio mínimo
> X^2+2 e F(\sqrt[2]{2})=[1,\sqrt[2]{2}] = gerado por
> {1,\sqrt[2]{2}} com coeficientes em Q;
> 
> \sqrt[4]{2}= Raíz quarta de 2 tem polinômio minimo
> X^4+2, F(\sqrt[4]{2})=[1,\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{4},\sqrt
> [4]{8}].
> 
> Naturalmente, F(\sqrt[2]{2} está contido em F(\sqrt[4]
> {2}).
> 
> Agradeço por qualquer ajuda.
> 
> Um abraço,
> Luiz Gustavo
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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