[obm-l] Múltiplos de 9 - problema de 5ª série

[Faelccmm@xxxxxxx]

Olá pessoal,

O problema abaixo já passou pela lista, mas não tinha entendido a resolução, foi a partir daí que resolvi tentar uma outra resolução para ele. Abaixo esta o problema e a resolução. Se errei em algo, me digam por favor ! 


Seja n um número natural, n > 3. 
Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).    
    
    
Para n = 4 (caso 9(n-2)) 

múltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dígitos igual a 9(4-2) = 18 

x + y + z + w = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I) 
x + y + z = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II) 
x + y = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III) 

Por funções geratrizes tem-se que: 

O número de soluções de (I) é 670 
O número de soluções de (II) é 55 
O número de soluções de (III) é 1 
TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726 

Para n = 4 (caso 9(n-1)) 

múltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dígitos igual a 9(4-1) = 27 

x + y + z + w = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I-a) 
x + y + z = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II-b) 
x + y = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III-c) 

Por funções geratrizes tem-se que: 

O número de soluções de (I-a) é 220 
O número de soluções de (II-b) é 1 
O número de soluções de (III-c) é 0 
TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221 

Prova-se, pois, que para n = 4 (base da indução) a afirmação do enunciado está correta ! 

Vou tentar resolver por indução, através das etapas: 
Hipótese de indução: Admitir que valha para qualquer n (n > 4) 
Provar: Vale para qualquer n + 1 (n > 4) 

Admitindo que seja correto o caso: 

Para múltiplos de 9 menores que 10^n 

9(n-2) > 9(n-1) OU como preferirem: 
9n – 18 > 9n – 9 
n – 2 > n – 1 (acho que eu deveria fazer isso no início, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !) 

Temos que provar que: 

múltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ... 

Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=soluções em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, não contamos as soluções I e I-a) 

...e soma dos dígitos igual a 9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 2). Calculando: 

9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 1) 
9(n-1) > 9n (dividindo por 9) 
n-1 > n (somando (-1) em ambos os lados) 
n-2 > n-1 (multiplicando por 9) 
9(n-2) > 9(n-1) HIPÓTESE DE INDUÇÃO 

Está certa esta resolução?