[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

[obm-l] Múltiplos de 9 - problema de 5ª série



Olá pessoal,

O problema abaixo já passou pela lista, mas não tinha entendido a resolução, foi a partir daí que resolvi tentar uma outra resolução para ele. Abaixo esta o problema e a resolução. Se errei em algo, me digam por favor !


Seja n um número natural, n > 3.
Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).



Para n = 4 (caso 9(n-2))

múltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dígitos igual a 9(4-2) = 18

x + y + z + w = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I)
x + y + z = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II)
x + y = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III)

Por funções geratrizes tem-se que:

O número de soluções de (I) é 670
O número de soluções de (II) é 55
O número de soluções de (III) é 1
TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726

Para n = 4 (caso 9(n-1))

múltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dígitos igual a 9(4-1) = 27

x + y + z + w = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I-a)
x + y + z = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II-b)
x + y = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III-c)

Por funções geratrizes tem-se que:

O número de soluções de (I-a) é 220
O número de soluções de (II-b) é 1
O número de soluções de (III-c) é 0
TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221

Prova-se, pois, que para n = 4 (base da indução) a afirmação do enunciado está correta !

Vou tentar resolver por indução, através das etapas:
Hipótese de indução: Admitir que valha para qualquer n (n > 4)
Provar: Vale para qualquer n + 1 (n > 4)

Admitindo que seja correto o caso:

Para múltiplos de 9 menores que 10^n

9(n-2) > 9(n-1) OU como preferirem:
9n – 18 > 9n – 9
n – 2 > n – 1 (acho que eu deveria fazer isso no início, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !)

Temos que provar que:

múltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ...

Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=soluções em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, não contamos as soluções I e I-a)

...e soma dos dígitos igual a 9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 2). Calculando:

9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 1)
9(n-1) > 9n (dividindo por 9)
n-1 > n (somando (-1) em ambos os lados)
n-2 > n-1 (multiplicando por 9)
9(n-2) > 9(n-1) HIPÓTESE DE INDUÇÃO

Está certa esta resolução?