Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.10.04 16:45, Qwert Smith at lord_qwert@hotmail.com wrote:

> 
> 
> 
>> From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>> 
>> on 01.10.04 13:01, Qwert Smith at lord_qwert@hotmail.com wrote:
>> 
>>> Nao tenho mais o email original do Claudio,
>>> mas a questao are algo assim:
>>> 
>>> Prove que existem infinitos K para que k*14^n + 1
>>> seja composto pra qualquer n positivo > 0
>>> 
>>> Eu acho que sei fazer por congruencias... basta
>>> escolher um numero composto C e fazer com que
>>> k*14^n + 1 = 0 (mod C)
>>> 
>>> De cara 15 parece uma boa escolha para C.
>>> Quero achar um k para que k*14^n + 1 = 0 (mod 15)
>>> reescrevendo com k = x (mod 15)
>>> 
>>> x * (-1)^n  + 1 = 0 para todo n inteiro>0
>>> x * (-1)^n = -1
>>> se n = 2a => x = -1, se n = 2a + 1 => x = 1
>>> 
>>> k = (-1)^(n+1) (mod 15)
>>> 
>>> reescrevendo k como (-1)^(n+1) + 15*t com t natural
>>> ( com ou sem 0 :) )  k*14^n + 1 sera sempre multiplo
>>> de 15 e sempre composto.  Ja ke existem uma infinidade
>>> de ts exitem uma infinidade de ks.
>>> 
>> Ok. Mas serah que voce consegue achar um K que funciona para todos os n?
>> 
>> []s,
>> Claudio
> 
> Que tal k=12 entao?
> Na verdade nao eh preciso que
> k*14^n + 1 = 0 (mod C) com C composto
> Basta que
> k*14^n + 1 = 0 (mod m) m composto ou nao
> e  [k*14^n + 1]/m > 1
> para k = 12:
> 12*14^n + 1 = 0 (mod 13) para n=1,2,3,...
> e como n > 0,  [12*14^n + 1]/13 > 1
> 

12*14^n + 1 == 12*(-1)^n + 1 == 0 (mod 13) se e somente se n for par.
Para n impar, esse negocio eh == 2 (mod 13).


 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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