Re: [obm-l] Intervalos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

"Como D eh compacto, D pode ser embolotado
(coberto) por uma subcolecao finita } de (G_x}" eu, 
>intuitivamente saquei, mas será que tem algum >modo de >mostrar esta
proposição ?
Esta eh a definicao de conjunto compacto. Nos espacos R^n, logo em R, um
conjunto eh compacto se e somente se for fechado e limitado. ste eh o
teorema de Heine Borel, para o qual ha diversas  provas. Em livris de
Analise encontra-se a demonstracao deste teorema.


>No caso D é um subconjunto fechado e limitado de >R^n acho que faltou fazer
referência.
Jah estavamos admitindo que D era compacto, logo fechado e limitado

>No trecho " A continuidade de f implica que, >para cada x de D, exista uma
bola aberta B_x, >centrada em x e de raio r_x, tal que |f(y)-f(x)| < eps/2 "
>eu poderia ter suposto |f(y)-f(x)|<eps/k , para >um 
>certo k inteiro maior ou igual a 2 ?
Sim, sem duvida. Como eps eh arbitrario, vc poderia perfeitamente ter feito
isto. Mas, no caso, bastava fazer k =2. Na realidade, sevc comecasse supondo
|f(y)-f(x)| < eps " para y na bola Bx, vc no final convcluiria que, se x e y
estao em D e |x - y| < r, entao  |f(y)-f(x)| < 2*eps. Como eps eh
arbitrario, isto nao faz qualquer diferenca.

Artur 




> >Okay!
> >valeu pela ajuda Artur.
> >Até mais.
> 
> Tamos aih (na medida de meus parcos conhecimentos)
> 
> Caso vc naum tenha aa mao um livro de Analise, vou 
dar aqui a prova classica
> to teorema da continuidade uniforme, no caso geral. 
Suponhamos que f seja
> continua em um conjunto compacto de R^n e tenha 
valores em R^m. Seja eps>0
> arbitrariamente escolhido. A continuidade de f 
implica que, para cada x de
> D, exista uma bola aberta B_x, centrada em x e de 
raio r_x, tal que |f(y) -
> f(x| < eps/2 para todo y em D inter Bx. Eh imediato 
que a colecao de bolas
> (B_x} cobre D. Embolotando D mais um pouquinho, 
vamos considerar a colecao
> {G_x}, das bolas abertas centradas nos ekementos x 
de D e de raio r_x/2. Eh
> claro que {G_x} tambem cobre D. Como D eh compacto, 
D pode ser embolotado
> (coberto) por uma subcolecao finita } de (G_x}. Seja 
r =
> (1/2)*minimo(r_x1....r_xn}. Entao, para cada 
i=1,...n temos 0< r <=(r_x1)/2.
> Vamos mostrar que este r satisfaz aa condicao de 
continuidade uniforme. 
> Sejam x e y elementos de D tais que |x-y| < r. Em 
virtude da nossa
> embolotacao de D por {G_x1,...G_xn}, para algum 
inteiro 1 <= i <= n, temos
> que x pertence a G_xi. Logo |x - x_i| < r_xi/2. 
Aplicando a desigualdade do
> triangulo, chegamos a |y - x_i| <= |y -x| + |x - 
x_i| < r + r_xi/2 <= r_xi/2
> + r_x_i/2 = r_xi, do que deduzimos que y esta em 
Bxi. Como G_xi esta contida
> em B_xi, vemos que x e y estao nesta ultima. E da 
definicao da embolotacao
> {B_x}, temos que |f(x) - f(x_i| <eps/2 e que |f(y) - 
f(x_i| <eps/2.
> Aplicando-se novamente a desigualdade do triang. 
chegamos a que |f(y) -
> f(x)| < eps. 
> Para todo eps>0, podemos, portanto, escolher um r >0 
tal que |f(y) - f(x)<
> eps para todos x e y de D tais que |x-y| < r. 
Justamente a definicao de
> continuidae uniforme.
> O segrdo deste prova eh embolotar convenientemente o 
conjunto D.
> Artur 
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Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
2º ano em Engenharia Elétrica 
UNESP - Ilha Solteira


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