[obm-l] Re: [obm-l] Conjunto dos irracionais algébricos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>E quanto aos irracionais algébricos? Se x é um 
>irracional algébrico, então para todo eps>0 >podemos escolher um racional r
tal que x -eps < >r*x < x+ eps. Então, r*x é irracional e é também
>algébrico, pois r é automaticamente algébrico e >o produto de dois
algébricos é algébrico. Logo, >os irracionais algébricos são densos em R.
>Esta prova tá OK?
>Ana 

Lamento dizer que não. Você não provou que os algébricos irracionais (acho
mais natural dizer algébrico irracional do que irracional algébrico) são
densos em R. Modificando um pouquinho o seu argumento e adicionando-se
apenas a hipótese de que r<>1, o que provamos com o seu argumento é que todo
elemento do conjunto dos algébricos irracionais é ponto de acumulação deste
conjunto. Uma conclusão interessante, mas que não prova o que você queria.
Mas, seguindo a sua linha de raciocínio, acho que podemos chegar lá. Seja x
um algébrico irracional e sejam a1 < a2 números reais quaisquer. Existe
então um racional r tal que a1 < r*x < a2. Pelos motivos que você
apresentou, r*x é um algébrico irracional. Concluímos assim que os
algébricos irracionais são densos nos reais.
Artur 

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