RE: [obm-l] Problemas IME

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Elric e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Se bem entendi a questao, basta usar a funcao de rotacao fornecida, isto e :

(a) -(j^2)a -Jc = b, que e a relacao procurada. Se nao e isso, e a relacao 
procurada e entre "a", "b" e "c", faca assim :

-(j^2)a -Jc = b   multiplicando por "J" e lembrando que J^3 = 1 : -a -(J^2)c 
= Jb. Multiplicando novamento por J: -Ja - c = (J^2)b. Colocando as coisas 
assim :

-(j^2)a - Jc - b = 0
-(J^2)c -Jb - a = 0
-(J^2)b -Ja - c = 0

IMAGINANDO, vemos que (x,y,z) = (-(J^2), -J, -1) e uma solucao nao nula do 
sistema linear homogeneo :

ax + cy + bz=0
cx + by + az = 0
bx + ay + cz = 0

Assim, o determinante da matriz formado pelos coeficientes das incognitas 
deve ser nulo, pois o sistema admite solucao nao trivial. Desenvolvendo este 
determinando segundo um fila qualquer, deve dar ( se nao errei algum calculo 
) : a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.

Era isso que voce queria ?

(b) Esse e trivialissimo. Existem "N" maneiras de achar z. Aqui vai algumas 
( por favor, preencha os detalhes ) :  Substitua z na relacao obtida em (a), 
fatore inteligentemente a equacao cubica resultante e voce acha z. Nao 
gostou, e muito truculento assim ? Entao faca assim : z=(x,y) =>
iz =(-y,x) e i =(0,1). Como o triangulo e equilatero, devemos ter : 
d(i,z)=d(iz,i) , d(z,iz)=d(i,z). Esse sistema de duas variaveis vai fornecer 
o valor do z. Ainda nao gostou ? Muto trabalhoso. Aqui vai um terceiro 
caminho : como z e iz sao perpendiculares e i=(0,1), por obvias razoes de 
simetria devemos ter z na bissetriz dos quadrantes impares. Logo z=(x,x). 
Usando o angulo com (0,1), ache x.

Nota : acima, d(a,b) = distancia euclidiana entre "a" e "b" e z=(x,y)

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,0901,230904

>From: "Edward Elric" <edwardelric666@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Problemas IME
>Date: Tue, 21 Sep 2004 20:32:14 +0000
>
>Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas:
>
>(IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade 
>no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 
>2pi/3).
>Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e 
>amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente 
>aos complexos, menos o ponto c. pede-se:
>
>(a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem 
>aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero.
>
>(b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero.
>Dado: i = (-1)^1/2

_________________________________________________________________
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================