[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Exercícios de Análise

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Sejam u1 e u2 vetores nao nulos e linearmente independentes de R^n (nao
proporcionais). Definamos A = {x em R^n :  x = u1 + t*u2, t em R}. Entao, A
nao contem 0 e nao hah dois elementos distintos de A que sejam proporcionais
(pois n>1).  Para todo x de A, |x|>0 (definicao de norma) e, portanto,
podemos definir y = x/|x|, tendo-se |y| =1 qualquer que seja a definicao da
norma || (novamente, decorrencia da definicao de norma). Se x1 e x2 sao
elementos distintos de A, entao y1 e y2 sao distintos, pois, do contrario,
seriam proporcionais, contrariamente aa definicao de A.
Existe assim uma bijecao entre A e um subconjunto da esfera unitaria. Como A
eh infinito (A nem mesmo eh enumeravel, pois eh homorfo a R), concluimos que
a esfera unitaria contem um subconjunto infinito, sendo ela propria infinita
(e naum enumeravel).
Artur   

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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