[obm-l] Re: [obm-l] ANÁLISE MAT II

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Acho que vc quis dizer f: I-->R e g:J-->R funções convexas com f(I) contido
em J.
Sejam x1<x2 elementos de I e seja 0<=u<=1. A convexidade de f em I, que
suponho ser um intervalo, implica que f(u*x1+ (1-u)*x2) <=  u*f(x1) +
(1-u)*f(x2). Como g eh monotona naum decrescente em J, temos que g(f(u*x1+
(1-u)*x2))) <= g(u*f(x1) + (1-u)*f(x2)). Supondo-se que J seja um intervalo,
temos que o argumento de g no segundo membro estah em J. Considerando-se
agora que g eh convexa, temos que g(u*f(x1) + (1-u)*f(x2)) <= u*g(f(x1) +
(1-u)*g(f(x2). Logo, g(f(u*x1+ (1-u)*x2)) <= u*g(f(x1) + (1-u)*g(f(x2) para
todos x1 e x2 de I e todo u em [0,1], o que mostra que gof eh convexa.
Assumindo-se f e g duas vezes diferenciaveis, temos pela regra da cadeia que
(gof)'(x) = g'(f(x)*f'(x) e que (gof)''(x) = g''(f(x)*f'(x)*f'(x) +
g'(f(x)*f''(x) = g''(f(x)*f'(x)^2 + g'(f(x)*f''(x)
Como g eh convexa, g''(f(x))>=0 para todo x de I, o que implica que a
primeira parcela da soma acima seja o produto de dois numeros nao negativos
e, portanto, nao negativa. 
Como g em monotona naum decresecente e convexa, para todo x de I temos
g'(f(x)>=0 eh f''(x)>=0, de modo que a segunda parcela da soma eh tambem
naum negativa. Logo,  (gof)''(x) >=o para todo x de I, o que mostra que gof
eh convexa em I. 
A introducao da condicao adicional da existencia das segundas derivadas
acabou naum simplificando a prova.
O exemplo fica para depois.
Artur 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] ANÁLISE MAT II
Data: 21/08/04 18:53

POR FAVOR, SE ALGUÉM CONSEGUIR FAZER ENVIE-ME COM DETALHES. Estou precisando

muito ver a resolução dessa questão. Obrigado. 


1) Sejam j: I-->R e g:I-->R funções convexas, com f(I) contido em J, e g 
monótona não-decrescente. Prove que gof: I-->R é convexa. Dê outra 
demonstração supondo f e g duas vezes deriváveis. Por meio de um exemplo, 
mostre que se g não é monótona não-decrescente o resultdo popde não ser 
válido. 

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