Re: [obm-l] questao simples do bartle

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxxxx>]

Oi, niski.

Se eu não me engano, quando temos dois conjuntos A e B, (não-vazios, por 
simplicidade - e para evitar discussões de quanto vale 0^0),
DEFINE-SE A^B como o conjunto de todas as funções f: B -> A (repare que a 
ordem está trocada, é isto mesmo)

Note que, então, você "apenas" tem que provar que o espaço de funções
F({1, 2, ..., p}; R) é isomorfo (no sentido de espaços vetoriais) a R^p.

Tomamos, naturalmente, F(S, R) (na sua notação, S={1,2,...,p}) como um 
espaço vetorial de dimensão p sobre o conjunto dos números Reais (PROVE!).
Então, basta você mostrar que existe uma função que leva uma base de
F(S, R) numa base de R^p e que esta respeita as operações dos dois espaços 
vetoriais. Nada mais natural do que escolher como base para F(S, R)
as funções f_i (1 <= i <= p) que são definidas por f_i(i) = 1 e f_i(k) = 0 
para k diferente de i, e então levar f_i -> e_i, i-ésima componente de 
R^p, (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), que vale 1 apenas na i-ésima coordenada.
Defina agora g (o nosso isomorfismo de espaços vetoriais) como
- g(f_i) = e_i
- g(a_1*f_1 + ... + a_n*f_n) = (a_1, ..., a_n), onde os a_i são reais.

Decorre da definição da g que ela é um isomorfismo entre os espaços 
vetoriais.

Agora, eu acho que todos os espaços vetoriais de dimensão p sobre um mesmo 
corpo são isomorfos (eu acho que realmente esta é a parte difícil, ou 
seja, provar que R^S tem dimensão p, mas a idéia da demonstração da 
propriedade acima é a mesma, mandando a base de um para a base do outro, 
por uma função análoga, estendida igualmente)

Observação: note que, para conjuntos finitos, temos um resultado 
interessante: (# = número de elementos de) #(A^B) = (#A)^(#B).
A demonstração pode ser feita por diversos argumentos combinatórios ou 
(para quem preferir) por indução no número de elementos de B
(Tome como base que A^{x} tem, obviamente, #A elementos).

Abraços,
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On Tue, 10 Aug 2004, niski wrote:

> Pessoal, este problema tirado do capitulo 8 (The Topology of Cartesian 
> Spaces) me parece ser simples por ser um dos primeiros do capitulo. Eu 
> realmente não entendi o enunciado. Me desculpem pelo ingles, se alguem 
> quiser eu traduzo o enunciado.
> 
> "Let S = {1,2,...,p}, for some p E N. Show that the vector space R^S
> is "essentially the same" as the space R^p"
> 
> Gostaria que alguem por favor me explicasse o que exatamente ele quer no 
> problema ou seja, acredito que basta explicar como se mostra que um 
> espaço vetorial é essencialmente o mesmo que um outro e tambem o que é 
> R^S. S é um conjunto...soa estranho, estou acosumado com R^2, R^3 e de 
> associar a ideia de produto cartesiano mas como imaginar para R^S onde S 
> é um conjunto de numeros naturais?
> 
> obrigado
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================