Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Domingos Jr. wrote:

> Chicao Valadares wrote:
>
>> Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:
>>
>> 1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de
>> K é soma dos quadrados de 2 elementos de
>> K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
>>  
>>
>
> para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição 
> é um quadrado.
> veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x - y) = 0 <=>
> x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do 
> cancelamento)
> <=> x = +/-y
>
> então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá 
> pra mostrar que
> isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu 
> deixo pra vc.

putz, esqueci de argumentar porque isso mata o problema...
além disso, não precisa provar nada pra ver que o número de quadrados é 
exatamente (q - 1)/2 (sem contar o 0), pois é claro que todos os 
quadrados foram contados!

deixa eu tentar me redimir!
claramente x^2 = x^2 + 0^2, então pra quadrados a afirmação é trivial.

fixe um elemento a em K,
a^2 + b^2 não pode ser quadrado para todo b em K^*, caso contrário 
teríamos mais de (q-1)/2 quadrados.

sendo assim seja z um não-quadrado.
dá pra ver que para todo par de não-quadrados c, d, temos que cd é um 
quadrado... a idéia é utilizar contagem.
veja que o produto de quadrados é claramente um quadrado e o produto de 
um quadrado e um não-quadrado é não quadrado, pois se
x^2*z = y^2 <=> z = y^2 *(x^(-1))^2 <= (y.x^(-1))^2 <=> z é quadrado.

então, para todo y não quadrado, temos que existe um x, com
x^2 = y.z^(-1) <=> y = z.x^2 <=> y = (a^2 + b^2)x^2 = (xa)^2 + (bx)^2

game over!

[ ]'s



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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