Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)

[Fábio Dias Moreira <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

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yurigomes@zipmail.com.br said:
> [...]
> 3) Let S_n be the set of all sum x_1+x_2+...x_n, where
> n>=2, 0<=x_1,...,x_n<="pi"/2 and
> sin(x_1) + sin(x_2) + ... + sin(x_n) = 1
> a) Show that S_n is an interval.
> b)Let l_n be the length of S_n. Find lim(n->infinito)(l_n).
> [...]

[espaço para quem quer pensar no problema]



















































a) Seja y_i = sen(x_i). Então x_1 + ... + x_n = arcsen(y_1) + ... + 
arcsen(y_n), já que os x_i estão restritos ao intervalo [0, pi/2].

Tome então a função f: S -> R que leva (y_1, ..., y_n) em arcsen(y_1) + ... + 
arcsen(y_n), e S é o conjunto dos vetores (y_1, ..., y_n) do R^n tais que:

* y_1 + ... + y_n = 1
* 0 <= y_i <= 1 para todo i, 1 <= i <= n.

f é obviamente contínua, e S é obviamente conexo, logo f(S) é conexo, logo é 
um intervalo.

b) Lema: f(S) = [n*arcsen(1/n), pi/2]

Prova: O resultado é obviamente verdadeiro para n = 1. Suponha que ele é 
válido para n-1.

Pelo teorema do Multiplicador de Lagrange, o único ponto crítico da f é o 
ponto (1/n, 1/n, ..., 1/n) (pois df/dy_i = 1/sqrt(1-y_i^2), e os pontos 
críticos da f são caracterizados por grad(F) // (1, 1, ..., 1), pois o vetor 
(1, 1, ..., 1) é o vetor normal à superfície S). Portanto, um candidato a 
ponto de mínimo é (1/n, ..., 1/n) (com valor n*arcsen(1/n)), já que é fácil 
ver que a Hessiana de f é uma matriz com zeros fora da diagonal e entradas da 
forma y_i/(1-y_i^2)^(3/2) na diagonal, logo é uma matriz positiva definida.

Por outro lado, existem dois tipos de pontos na fronteira de S:

* pontos com algum y_i = 1;
* pontos com algum y_i = 0.

Se y_i = 1, então y_1 = y_2 = ... = y_{i-1} = y_{i+1} = ... = y_n = 0, e a 
função vale pi/2. Mas se y_i = 0, a função f se comporta exatamente como no 
caso n-1. Logo, pela hipótese de indução, a imagem da fronteira de S por f é 
[(n-1)*arcsen(1/(n-1)), pi/2]. Logo o máximo da f, em dimensão n, é pi/2, e o 
seu mínimo é n*arcsen(1/n), pois a derivada de x*arcsen(1/x), arcsen(1/x) - 
1/sqrt(x^2-1), é sempre negativa se x > 1, pois

arcsen(1/x) < 1/sqrt(x^2-1) <=>
1/x < sen(1/sqrt(x^2-1)), verdadeiro pois sen(1/sqrt(x^2-1)) > 1/sqrt(x^2-1) > 
1/sqrt(x^2) = 1/x. Em particular, n*arcsen(1/n) < (n-1)*arcsen(1/(n-1)).

Logo l_n = pi/2 - n*arcsen(1/n). Mas arcsen(1/n) = 1/n + O(1/n^2), logo
lim[n->inf] l_n = lim[n->inf] pi/2 - 1 + O(1/n) = pi/2 - 1.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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