RE: [obm-l] Outra - Cone Sul 1997

["Rogerio Ponce" <rogerio_ponce@xxxxxxxxxxx>]

Valeu Felipe!

Bem, 10^n significa que temos números com n dígitos.

Para gerarmos todos os números cujos dígitos somam 9(n-1), é como se 
iniciássemos com todos os dígitos iguais a 9, e então somássemos um total de 
-9 unidades a eles, distribuídas de todas as formas possíveis. Portanto, 
queremos o número de solucões não negativas de  A1+..+An = 9 , que vale   
(n+8)! / [ (n-1)! * 9! ]


Para os números cujos dígitos somam 9(n-2), o raciocínio é equivalente: 
queremos distribuir ¨negativamente¨ um total de 18 unidades, com o cuidado 
de eliminar todas as solucões com uma das variáveis maior que 9 (pois não 
poderíamos ter um dígito menor que zero, no número formado). Temos que o 
total de solucões não negativas de A1+...+An=18 vale (n+17)! /  [ (n-1)! * 
18! ] .
E , para o total de solucões com uma das variáveis maior que 9, basta 
imaginar que uma das variáveis já tem o offset de 10, de forma que queremos 
as solucoes nao negativas de A1+...+An = 8 , que vale (n+7)! / [ (n-1)! * 8! 
] .  Esse número deve ser multiplicado por n , pois temos n escolhas para a 
variável com o offset de 10.
Dessa forma, o total para este caso é (n+17)! / [ (n-1)! * 18! ]   -  
n*(n+7)! / [ (n-1)! * 8! ]

Assim, provar que , para n>3, o primeiro caso é menor que o segundo caso, é 
o mesmo que provar que
(n+8)! /9!   +  9n* (n+7)! / 9!   <     (n+17)! /  18!

ou
10n+8 < (n+17)*(n+16)*...*(n+8) * 9!/18!

Isso é o mesmo que provar que (chamando Ln de L):
L(10n+8) < L(n+17) + L(n+16) +...+ L(n+8) + L(9!/18!)

Observemos que a derivada dos dois lados é
10/(10n+8) <  1/(n+17) + 1/(n+16) +...+ 1/(n+8) + 0
pois cada um dos termos à direita é maior que 1/(10n+8) , fazendo com que o 
lado direito seja sempre maior que o esquerdo.

Assim, como para n=3 os dois lados valem L(38), e para qualquer n>=3, a 
derivada da direita é sempre maior que a derivada do lado esquerdo, a 
desigualdade é verdadeira.

Abraços,
Rogério.


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Oi Rogerio,

que tal o enunciado abaixo?



Seja n um número natural, n > 3.

Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com 
a

soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos 
igual a 9(n-1).

              Até mais.   Felipe M.

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