Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Ajuda_com_uma_demonstração_sobre_espaços_de_Baire

[Ana Evans <ana_ev@xxxxxxxxx>]

Obrigada. Vou tentar resover com base nas suas
sugestões. Não parece muito simples, será que não
existe uma outra forma?
Ana


--- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:
> Oi Ana
> Seja bem vinda!
> 
> Vou dar algumas dicas.  Mostre que:
> 
> 1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos
> magros (isto eh, de
> primeira categoria na classificacao de Baire) que
> sejam densos em X naum sao
> G-delta.
> 
> 2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma
> funcao de X em R, entao
> o conjunto dos elementos de X nos quais f eh
> continua eh um G-delta.   
> 
> (1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira.
> 
> Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em
> espacos de Baire,
> conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior
> vazio naum sao F-sigma.
> Isto prova o desejado porque.....
> 
> Para provar (2), acho que eh um pouco mais
> complicado (pelo menos, ateh onde
> eu consigo ver). Uma forma que me parece
> interessante eh considerar o
> conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes
> definidas em um espaco
> topologico X e que tenha valores em R (na realidade,
> os valores podem estar
> em qualquer espaco metrico). 
> Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A
> eh W(A) = sup {|f(x1) -
> f(x2)| :  x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o
> diametro do conjunto
> imagem f(A).
> Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por
> w(x) = inf {W(V) : V
> pertence a U}, sendo U a colecao de todas as
> vizinhancas de x. (Na
> realidade, podemos nos restringir a vizinhancas
> basicas, como bolas abertas
> se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos
> restringir aa colecao
> enumeravel das bolas abertas de centro em x e raiod
> 1/n, n natural.). Um
> fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil
> e eh instrutiva, eh que
> f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0.
> 
> De posse destes conceitos, mostre entao que:
> (2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X :
> w(x) < r} eh aberto em X.
> 
> Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh
> continua. Considere a
> colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh
> natural}. Uma certa operacao
> realizada nesta colecao dah um resultado que tem a
> cara de C (2b). Temos
> entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou.
> 
> Certamente hah outras formas de se provar a
> proposicao.
> Artur
> 
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre
> espaços de Baire
> Data: 15/07/04 17:33
> 
> Oi pessoal da lista, um abraço, para todos, acabei
> de
> me inscrever!
> 
> Eu gostaria de algumas dicas para a seguinte
> demonstração:
> 
> Sejam X um espaco de Baire e D um subconjunto de X
> que
> seja denso em X e de primeira categoria (isto é, D
> está contido na união de uma colecao enumerável de
> conjuntos fechados que tenham interior vazio). Não
> existe, então, nenhuma funcão de X em R (os reais)
> que
> seja contínua exatamente em D (isto é, contínua em
> todo elemento de D e descontínua em todo elemento
> não
> pertencente a D).
> 
> Eu estou me confundindo nesta demonstração.
> Obrigada.
> Ana
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