1.
Lema de Schur: Seja ( X , T , z ) um espaço de medida sigma – finito e seja
E = L^2 ( X). Seja T um operador linear em E dado por
Tf(x) = integral ( K( x , y) f(y)dz(y)) onde K( x , y ) é uma função mensurável tal que
(a) integral ( | K( x , y) | dz(y) ) menor ou igual a C1 para todo x , e
(b ) integral ( | K( x , y) | dz(x) ) menor ou igual a C2 para todo y
Mostre que || Tf || _L^2 menor ou igual sqrt ( C1 C2 ) || f || _ L^2
Obs: As integrais acima são calculadas em X
2 . Variante do lema ( Phong - Stein ( 1992) ) : Sendo X o conjunto dos números reais com a medida de lebesgue , suponha que K satisfaz para algum s >0 :
(a) integral ( | K( x , y) | | y | ^(-2 s) dz(y) ) menor ou igual a C1 | x | ^(-2 s) para todo x , e
( b) integral ( | K( x , y) | | x | ^(-2 s) dz(x) ) menor ou igual a C2 | y | ^(-2 s) para todo y .
Mostre que mostre que || Tf || _L^2 menor ou igual C || f ||_L^2 .
Sugestão : mostre primeiro que | Tf(x) | ^2 menor ou igual
integral ( | K( x , y) | | y | ^(2 s) | f ( y ) |^2 dz(y) )(integral( | K( x , y) | | y | ^(-2 s)dz(y))
menor ou igual C_1 | x | ^( -2s) ( integral ( | K( x , y) | | y | ^(2 s) | f ( y ) |^2 dz(y) )
e depois integre.