Re: [obm-l] Re:_[Spam]__[obm-l]_Álgebra

Re: [obm-l] Re:_[Spam]__[obm-l]_Álgebra_2

Meu caro Fernando,

acho que quando queremos definir um isomorfismo F não podemos supor que F(x*y) = F(x) + f(y), pois isso é algo que prcisamos verificar. Mas de qualquer forma, vamos tentar verificar se sua aplicação F definida apenas como

F (1)=(0,0,...,0)

F(x)= vetor com pelo menos uma coordenada não nula, se x<>e,

satisfaz a tal propriedade acima.

F(x*y) = (0, ..., 0) = (0, ...,1,..., 0) + (0, ...,1,..., 0) = (0, ..., 0) + (0, ..., 0) = F(x) + F(y) (na segunda igualdade, o 1 na i-ésima entrada de cada vetor) se x = y<>e ou se x = y = e, respectivamente. E se x*y <> e, temos duas possibilidades: x <> e e y = e ou x<> e e y <> e (e vice-versa). Na primeira, temos que:

F(x*y) = vetor não nulo = vetor não nulo + (0, ... , 0) = F(x) + F(y).

E na segunda temos que:

F(x*y) = vetor não nulo = vetor não nulo na i-ésima entrada + vetor não nulo na (i+1)-ésima entrada ???=??? F(x) + F(y). Acho que pela definição de F não posso garantir que se x<>y temos que F(x) <> F(y), e portanto, F não é um homorfismo. Posso estah equivocado, mas creio eu que precisamos melhorar sua definição para F. Por exemplo, sendo G = {x_0 = e, x_1, ..., x_2n} e definindo F como F(x_i) = (0, ..., 1, ..., 0) (1 estah na i-ésima entrada) e F(x_0) = (0, ..., 0) (é claro!!!). Serah que F assim definida seria um isomorfismo??? Vou tentar provar e envio a resposta para a lista.

Grato, Éder.
Fernando Villar <f_villar@terra.com.br> wrote:

Olá Éder,

Primeiramente temos que Card(Z/2Z X ... X Z/2Z ) = 2^n, se Z/2Z X ... X Z/2Z tem n parcelas.

Pelo princípio multiplicativo. Para cada uma das n coordenadas temos duas possibilidades (0 ou 1).

Podemos ainda enumerar os elementos de G de 1 a 2^n de modo que o elemento 1 seja o elemento neutro e.

A propriedade g*g = e indica que cada termo é igual ao seu inverso (simétrico).

Assim sendo podemos criar um homomorfismo F de (G,*) em (Z/2Z X ... X Z/2Z,+) tal que

F (1)=(0,0,...,0)

F(x)= vetor com pelo menos uma coordenada não nula, se x for diferente de 1.

F(x*y)=F(x)+F(y)

Afirmação: F é injetiva

Com efeito,

se F(x)=F(y) então

F(x*y)=F(x)+F(y)=(0,0,...,0), já que cada de coordenada de F(x)+F(y) é o dobro das coordenadas de F(x).

Pela definição de F temos que x*y=1 e operando y a esquerda teremos

x*y*y=1*y

x*1=y

x=y

O que prova que F é injetiva.

Como as cardinalidades do domínio e do contra-domínio são iguais e F é injetiva concluímos que F é também sobrejetiva. Assim temos um homomorfismo bijetivo, ou seja, um isomorfismo entre (G,*) e

(Z/2Z X ... X Z/2Z,+) .

[ ]'s

Fernando

----- Original Message -----

From: Lista OBM

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Saturday, July 10, 2004 3:38 PM

Subject: [Spam] [obm-l] Álgebra_2

Gostaria de saber como provo (se for verdade) o exercício abaixo:

Seja G um grupo de ordem 2^n com a seguinte propriedade: g*g = e, para todo g em G. Prove que G é isomorfo a Z/2Z X ... X Z/2Z (n parcelas).

Grato, Éder.

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