Re: [obm-l] Álgebra_1

[Will <will@xxxxxxxxxx>]

> Gostaria de saber como construo um isomorfismo entre um grupo de ordem 8
> não abeliano e grupo Q_8 (quaténios). 

Primeiro de uma olhada nos elementos de teu grupo e veja se nao tem nenhum elemento 
de ordem 4. Se tiver, esse grupo (nao abeliano) eh isomorfo ao grupo de isometrias do 
quadrado.  Se todo mundo tiver ordem 2 e o grupo for nao abeliano entao eh isomorfo 
mesmo aos quaternios. Para construir o isomofismo eu comecaria olhando para o centro 
do grupo e levando o elemento diferente da identidade no elemento (-1) dos quaternios. 
O resto dá pra ir por tentativa/investigacao.

Como provo que um grupo de ordem
> 2p (p primo) é isomorfo a Z/(2p) ou a D_p (grupo dihedral de ordem
> 2p).

Coisas que sabemos de um grupo de ordem 2p  (p diferente de 2)
- G tem um subgrupo de ordem 2
- G tem um subgrupo de ordem p
- o numero de p-sylows eh congruo a 1 modp e divide 2, logo eh igual a 1
(ou seja, o p-sylow eh normal)

- o numero de 2-sylows eh congruo a 1 mod 2 e divide p, logo eh igual a 1 ou p.



Se G eh abeliano...
Todo subgrupo de G eh normal *pq G eh abeliano*
O 2-Sylow sera normal e, portanto, unico. 
Como os dois subgrupos de sylow sao normais, a unica alternativa aqui eh G isomorfo 
ao produto direto de Z2 com Zp

Se G eh nao abeliano, podemos considerar que o numero de 2-sylow igual a P.
A normalidade do p-sylow nos dah condicoes de fazer o produto semidireto de zp por 
z2. Como Aut(Zp) eh isomorfo a Z(p-1), que é par, isso nem eh tao dificil e o unico 
produto semidireto possivel serah o dihedral.

Mais sobre isso no Elementos de Algebra, do Arnaldo Garcia e Yves LEquain.  Há 
tambem o excelente livro do Herstein, Topicos de Algebra, mas nao me lembro ateh onde 
ele cobre esse tema.

Abracos
Will
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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