[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Eder,

Ok !

Vamos fazer o seguinte. Vou provar um resultado classico que voce podera 
usar na solucao.

TEOREMA DE CAUCHY : Se G e um grupo finito e "p" e um numero primo que 
divide
a ordem de G entao existe um elemento "g" de G de ordem "p".

PROVA : Vamos usar inducao sobre a ordem de G. Mais especificamente vamos 
mostrar que
( HIPOTESE DE INDUCAO ) se todos os grupos com ordem menor que G satisfazem 
o TEOREMA DE CAUCHY entao G satisfaz o TEOREMA DE CAUCHY.

1) Se a ordem de G for um numero primo, |G| = p, entao a prova e trivial e 
nem precisamos usar a hipotese de inducao, pois "p" sera o unico numero 
primo que pode dividir a ordem de G e se "g"
for um elemento de G entao, pelo teorema de Lagrange, <g> divide |G|, isto 
e, a ordem de
"g" e "p". Assim, nao so um, mas todos os elementos de G ( com excecao da 
identidade ) tem
ordem "p"

2) Se ordem de G nao for um numero primo, seja "p" um numero primo que 
divide a ordem de G.
Tomando um elemento "g" pertencente a G, "g" diferente de "e", considere o 
subgrupo de G : H=<g>. Existem duas possibilidades para H :

PRIMEIRA : H e igual a G. Neste caso, G e ciclico com G=<g>. Seja N=|G| e 
considere o elemento g^(N/p). Claramente que g^(N/p) pertence a G e ordem de 
g^(N/p) e "p". Assim,
G tem um elemento de ordem "p" e acabou.

SEGUNDA : H e diferente de G. Neste caso |H| < |G|.

Se "p" divide |H|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe "h" pertencente a H tal 
que ordem de "h" e "p". Como H e subconjunto de G segue que "h" e tambem 
elmento de G e, portanto, G tem um elemento de ordem "p" e acabou.

Se "p" nao divide |H| ( mas "p" divide |G|, por hipotese ),  pelo teorema de 
Lagrange |G|=|H|(G:H) teremos que "p" divide (G:H), isto e, "p" divide o 
indice de H em G. Como (G:H) =| G/H | e
G/H| < |G|, pela HIPOTESE DE INDUCAO, existe um h_ ( h barra ) em G/H de 
ordem "p".

Considere a projecao canonica :

p : G -> G/H

Sabemos que trata-se de um homomorfismo e que em todo homomorfismo a ORDEM 
DA IMAGEM DE UM ELEMENTO DIVIDE A ORDEM DO ELEMENTO, isto e, |h_| divide |h| 
para algum "h" em G. Como |h_| = p  =>  |h| = kp, para algum k inteiro. 
Considere o elemento h^k. Claramente que h^k pertence a G e | h^k | = p. 
Assim, G tem um elemento de ordem "p".

Vemo que a hipotese de inducao vale ( por vacuidade ) para as ordem 1 e 
tambem para a
ordem 2. Segue - pelo que vimos acima - que vale para todas as ordens.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1117,240604

>From: Lista OBM <obm_lista@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
>Date: Thu, 24 Jun 2004 10:08:22 -0300 (ART)
>
>Meu caro Paulo, entendi sua solução, o prblema que esse exercício 
>encontra-se na seção de um >livro onde ainda não tem esse resultado que 
>você usou. Você não conhece outra forma de >resolver esse esxercício.
>
>Grato pela solução, Éder.

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