Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida

Meu caro Paulo, entendi sua solução, o prblema que esse exercício encontra-se na seção de um livro onde ainda não tem esse resultado que você usou. Você não conhece outra forma de resolver esse esxercício.

Grato pela solução, Éder.

Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> wrote:

Ola Eder,

Existe um Teorema que afirma o seguinte :

"Se G e um grupo e a fatoracao da ordem de G e (p1^e1)*...*(pn^en) entao
para todo f
tal que 0 =< f =< ei, i = 1..n, existe um subgrupo G' de G com ordem pi^f"

Este teorema e conhecido como PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW.

Segue que se |G|=2n entao, qualquer que seja o n, existe um subgrupo G' de G
de ordem 2 (
mesmo que n seja par ). Seja G'={e,x}. Entao x^2=e.

Acima falei "PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW". Sera que existem outros ? De fato.

1) Um p-grupo e um grupo cuja ordem e uma potencia de p, p primo. E facil
provar o seguinte :

"Um grupo G e um p-grupo se, e somente se, todo elemento de G tem ordem
igual uma potencia
de p" ( Isso fica como exercicio pra voce )

Pelo PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW, se G e um grupo e |G!=(p^N)*q onde p e
primo e
MDC(p,q)=1 entao G tem subrupos de ordem p, p^2, ...,p^N. O subgrupo de G
ccom
ordem igual a maior potencia do primo p ( no caso, p^N) e chamado um
P-SUBGRUPO DE
SYLOW DE G.

Exemplo :
|G|=(5^7)*12
Os 5-subgrupos de sylow de G tem ordem 5^7 ( apesar dele ter subgrupos de
ordem 5,
5^2,..., 5^6 tambem )

O SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW fala exxencialmente sobre a existencia e
quantidade destes
p-subgrupos de sylow.

SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW:
"Se G e um grupo, p um numero primo que divide a ordem de G e Sp o numero de
p-subgrupos
de Sylow em G entao :

A) Os p-subgrupos de Sylow sao conjugados, vale dizer, se S1 e um ppsubgrupo
de sylow e
Se outro p-subgrupo de Sylow entao existe g em G tal que S1=g*S2*(g^(-1)) e.
alem
disso, todo p-subgrupo de G esta contido em algum p-subgrupo de Sylow de G

B) Sp e igual ao indice do normalizador de qualquer p-subgrupo de Sylow

Uma palavra de esclarecimento : eu acho mais natural estudar os teoremas de
Sylow dentro
da teoria das representacoes ( O Taylor, de Harvard, e cara bom nisso ).
Digo isso porque
conceitos que ficam "um tanto artificiais" fora desta teoria adquirem um
significado bem
concreto dentro desta teoria.

Vou tentar te mostrar isso falando sobre o normalizador.

Sejam G e G' dois grupos e h:G->G' um homomorfisomo. Tal homomorfisomo e
chamado uma
REPRESENTACAO de G em G'. Isso e muuuuuuuito velho. As origens desta ideia
esta em Galois,
e o objetivo e o seguinte : G e um grupo COMPLICADO, POUCO CONHECIDO OU
DIFICIL DE
SER TRATADO por alguma razao. Entao, nos lancamos mao de uma representacao
de G em G',
onde G' e um grupo que e MAIS SIMPLES OU BEM CONHECIDO OU TRATAVEL MAIS
FACILMENTE
e buscamos saber fatos sobre G a partir de fatos (em tese, ja conhecidos )
sobre G'.

Existe um candidato natural a ser G'. Quem ? Sn, obvio ! O Sn e estudado a
mais de 200 anos
e nos sabemos "bastante" coisas sobre ele. Assim, Um homomorfisomo h:G->Sn e
chamado uma
REPRESENTACAO POR PERMUTACAO ( Estou supondo que voce conhece o Teorema de
Cayley : Todo grupo e isomorfo a um subgrupo de um grupo de permutacoes )

Considere agora a representacao :

h:G -> Sn tal que h(g):Sn -> Sn, h(g)(x)=g*x*(g^(-1))
( Fica como exercicio voce mostrar que, de fato, isso e uma representacao,
isto e, que h e
um homomorfismo e que h(g) e uma permutacao )

Uma tal representacao e chamada REPRESENTACAO (por permutacao) POR
CONJUGACAO, pois
se y=g*x*(g^(-1)), x e y se dizem CONJUGADOS. Agora, fixado x em Sn, podemos
variar
livremente o g em G. Para cada g teremos que h(g)(x) e uma permutacao. O
conjunto :

{ h(g)(x), g em G } e chamado ORBITA DE x. (O(x))Por outro lado :
{ g em G tal que h(g)(x)=x } e chamado ESTABILIZADOR DE x ( E(x)).

O estabilizador de x e claramente um subgrupo de G ( exercicio pra voce ).

Pois bem, introduzidos estes conceitos, considere a representacao na qual
permutamos TODOS OS
SUBGRUPOS DE G. Neste caso, teremos a ORBITA DE UM SUBGRUPO. O estbilizador
de um
subgrupo e chamado ........ NORMALIZADOR !!!!!!

Assim, se S e um p-subgrupo de Sylow de G entao N(S), o normalizador de S em
G e apenas os
elementos de G tais que gS(g^(-1))=S. Portanto, o que a parte B) do segundo
teorema de
Sylow esta dizendo e que o numero de p-subgrupos de Sylow de G e igual ao
indice (G:N(S)),
onde S e qualquer p-subgrupo de sylow de G,isto e, e a cardinalidade da
orbita de G.

Daqui voce pode conluir o seguinte : Se S e o unico p-subgrupo de Sylow de G
entao S e
normal em G ( vale a reciproca : Se um p-subgrupo de sylow em G e normal em
G entao este
p_subgrupo e unico ) Fica como exercicio.

Nota: estou chamando INDICE de N(S) em G a cardinalidade do conjunto das
classes larterais
(a esquerda ou a direita ) de G/N(S).

Deve ficar claro que que os conceitos de normalizador sao OUTROS NOMES para
o mesmo
objeto, isto e, a orbita. Se o grupo representante nao e um conjunto de
subgrupos, mas
sim o conjunto subjacente de G, o estabilizador fica sendo chamado de
CENTRALIZADOR.

O terceiro teorema de Sylow fala sobre o Sp, o numero de P subgrupos de
Sylow de G.

TERCEIRO TEOREMA DE SYLOW :
Se G e um grupo finito e |G|=(p^N)*q com p primo e MDC{p,q}=1 entao Sp, p
numero
de p-subgrupos de sylow de G e tal que :

Sp divide q
Sp "e congruo a" 1(mod p)

A prova de que Sp divide q e trivial, mas a segunda parte nao e dificil mas
tambem nao e
imediata. Em qualquer bom livro de algebra elementar voce vai encontrar as
demonstracoes.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0921,240604

Fixado x pertencente a

>From: Lista OBM
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Dúvida
>Date: Thu, 24 Jun 2004 07:02:59 -0300 (ART)
>Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
>
>Seja (G, . ) um grupo contento exatamente 2n elementos, n >=1. Prove que
>existe x <> e t.q. x^2 = x.x = e.
>
>Obs.: (i) x <> e denota x diferente da unidade de (G, . );
> (ii) . é uma operação qualquer que torna G um grupo.
>
>Grato, Éder.

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[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
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