Re: [obm-l] Dúvida

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Dúvida

on 10.06.04 10:32, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

Cláudio, estava olhando sua solução para o problema abaixo e não estou conseguindo "engolir" uma de suas afirmações:

"... Mas d(g(x),g(a)) = d(f(x,y),g(a,z)) para quaisquer y e z em N. ok!!!

Em particular, podemos fixar arbitrariamente b ??? pertencente a N de modo que para todo delta > 0, existe (x,b) em MxN tal que:
d((x,b),(a,b)) = d(x,a) < delta ??? mas  d(f(x,b),g(a,b)) >= eps_0 ???,
o que implica que f eh descontinua em (a,b). ok!!! "


Eu apenas usei a negacao da definicao de funcao continua.
Mais precisamente, o que eu fiz foi mostrar que existe um eps_0 > 0 tal que, para cada delta > 0, podemos tomar um ponto (x,y) em MxN tal que:
d((x,y),(a,b)) < delta  mas  d(f(x,y),f(a,b)) >= eps_0.
Como, para cada delta eu preciso de apenas um ponto (x,y), eu resolvi fixar y (tomando sempre y = b).

[]s,
Claudio.



Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 08.06.04 15:10, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

Gostaria que alguém me ajudasse com o problema abaixo:

Sejam M,N e P espaços métricos. A aplicação f: MxN --> P depende apenas da primeira variável, i.e., f(x,y) = f(x,z), para quaisquer x em M e y,z em N. Defina g: M --> P pondo g(x) = f(x,y), para qualquer y em N. Mostre que g é contínua se, e só se, f é contínua.

Grato desde já, Éder.


Seja P1: MxN -> M dada por P1(x,y) = x (funcao primeira projecao)

Entao, podemos considerar que f = g o P1 (o = composicao)

P1 eh continua: dado eps > 0 e (a,b) em MxN, qualquer ponto (x,y) dentro da bola aberta de centro (a,b) e raio eps serah tal que d(P1(x,y),P1(a,b)) = d(x,a) <=
d((x,y),(a,b)) < eps.

Como a composta de duas funcoes continuas eh continua, temos que se g eh continua, entao f eh continua.

Suponhamos agora, que g seja descontinua no ponto a de M.
Isso quer dizer que, existe um eps_0 > 0, tal que, para todo delta > 0, existe x em M! tal que d(x,a) < delta  mas  d(g(x),g(a)) >= eps_0.

Mas d(g(x),g(a)) = d(f(x,y),g(a,z)) para quaisquer y e z em N.

Em particular, podemos fixar arbitrariamente b pertencente a N de modo que para todo delta > 0, existe (x,b) em MxN tal que:
d((x,b),(a,b)) = d(x,a) < delta  mas  d(f(x,b),g(a,b)) >= eps_0,
o que implica que f eh descontinua em (a,b).

[]s,
Claudio.

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