[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

RE: [obm-l] Quadrado perfeito



Olá Fábio,

 

          Eu achei esta questão bem interessante. Segue uma resolução possível.

 

 

RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

 

Fazendo m = 100000.100002.100006.100008, teremos que N = m + n, onde n é o menor inteiro positivo de modo que N seja quadrado perfeito. A técnica que eu utilizei foi de transformar os produtos de dois fatores em produtos da soma pela diferença de dois números. Deste modo, eu posso aplicar o produto notável (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 sucessivas vezes.

 

m = (100004 - 4)(100004 - 2)(100004 + 2)(100004 + 4)

m = (100004 - 4)(100004 + 4)(100004 - 2)(100004 + 2)

m = (100004^2 - 16)(100004^2 - 4)

m = [(100004^2 - 10) - 6)][(100004^2 - 10) + 6)]

m = (100004^2 - 10)^2 - 36

 

Observe que para n = 36, teremos que N = m + n = (100004^2 - 10)^2 é um quadrado perfeito.

Somente falta verificar se n = 36 é o menor inteiro positivo de modo que N = m + n seja quadrado perfeito.

 

Fazendo k = 100004^2 - 10, teremos N = m + 36 = k^2.

Se existir n < 36 tal que n + m seja um quadrado perfeito, teremos:

n < 36 => n + m < m + 36 => n + m < k^2

O menor quadrado perfeito que é menor que k^2 é (k - 1)^2, portanto:

n + m <= (k - 1)^2 => n + m <= k^2 - 2k + 1

Como k^2 = m + 36, teremos:

n + m <= m + 36 - 2k + 1 => n <= 36 - 2k + 1

Como k = 100004^2 - 10, teremos:

n <= 36 - 2k + 1 => n <= 36 - 2.100004^2 + 20 + 1 => n <= 57 - 2.100004^2

 

Portanto, nós provamos que:

Se n = 36, então N = m + n = (100004^2 - 10)^2 é um quadrado perfeito. (i)

Se existir n < 36 tal que N = m + n seja um quadrado perfeito, então n <= 57 - 2.100004^2 < 0 (ii)

 

Por (i) e (ii), concluímos que n = 36.

 

RESPOSTA: Alternativa d

 

Rogério Moraes de Carvalho

Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação

rogeriom@gmx.net


From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Fábio Bernardo
Sent: quinta-feira, 10 de junho de 2004 12:09
To: OBM
Cc: Feras_Da_Matematica@yahoogrupos.com.br
Subject: [obm-l] Quadrado perfeito

 

 

O meno inteiro positivo n para o qual o número

 

N = 100000.100002.100006.100008+n

 

é um quadrado perfeito é:

a) 30

b) 32

c) 34

d) 36

e) 38