Re: RE: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3

[saulonpb@xxxxxxxxx]

Em 8 Jun 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 
Onde eu encontro esta prova? no site da obm so tem provas de 2003 da OBM. 
>Resolva no campo dos reais a equação: 
>sqr[x + 2.sqr(x - 1)] + sqr[x - 2.sqr(x - 1)] = 2 
> 
>RESOLUÇÃO POSSÍVEL: 
> 
>Condição de existência no campo dos reais: 
>x - 1 >= 0 <=> x >= 1 
> 
>Considerando x >= 1, podemos concluir que: 
>x + 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 + 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) + 1]^2 
>x - 2.sqr(x - 1) = [sqr(x - 1)]^2 - 2.sqr(x - 1) + 1 = [sqr(x - 1) - 1]^2 
> 
>Logo, teremos: 
>sqr{[sqr(x - 1) + 1]^2} + sqr{[sqr(x - 1) - 1]^2} = 2 
>|sqr(x - 1) + 1| + |sqr(x - 1) - 1| = 2 (i) 
> 
>x - 1 >= 0 => sqr(x - 1) >= sqr(0) => sqr(x - 1) + 1 >= 1 => |sqr(x - 1) + 
>1| = sqr(x - 1) + 1 (ii) 
>A função sqr(X) é estritamente crescente em X, para todo X real não 
>negativo, logo: sqr(X1) - sqr(X2) >= 0 <=> sqr(X1) <= sqr(X2) <=> X1 <= X2 
e 
>sqr(X1) - sqr(X2) < 0 <=> sqr(X1) < sqr(X2) <=> X1 < X2, para todos X1, X2 
>reais não negativos. Sendo assim, analisando a expressão sqr(x - 1) - 1 = 
>sqr(x - 1) - sqr(1), concluímos que: 
>sqr(x - 1) - sqr(1) < 0 <=> x - 1 < 1 <=> x < 2 
>sqr(x - 1) - sqr(1) >= 0 <=> x - 1 >= 1 <=> x >= 2 
>Logo: 
>|sqr(x - 1) - 1| = sqr(x - 1) - 1, para x >= 2 e |sqr(x - 1) - 1| = 1 - 
>sqr(x - 1), para x < 2 (iii) 
> 
>Substituindo (ii) e (iii) em (i), teremos: 
> 
>Para 1 <= x < 2: 
>sqr(x - 1) + 1 + 1 - sqr(x - 1) = 2 <=> 0.sqr(x - 1) = 0 (Satisfeita para 
>qualquer x no intervalo considerado, ou seja, 1 <= x < 2) (iv) 
> 
>Para x >= 2: 
>sqr(x - 1) + 1 + sqr(x - 1) - 1 = 2 <=> 2.sqr(x - 1) = 2 <=> [sqr(x - 1)]^2 
>= 1^2 (observe que os radicandos são não negativos) <=> x - 1 = 1 <=> x = 2 
>(v) 
> 
>Unindo as soluções de (iv) e (v): S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2} 
> 
>Resposta: S = [1, 2] = {x real | 1 <= x <= 2} 
> 
>Abraços, 
> 
>Rogério Moraes de Carvalho 
>-----Original Message----- 
>From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On 
>Behalf Of Maurizio 
>Sent: segunda-feira, 7 de junho de 2004 19:22 
>To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>Subject: [obm-l] Problema 16 OBM - Nivel 3 
> 
>Olá 
>a questão 16 é assim: 
> 
>[x+2(x-1)^1/2]1/2+[x-2(x-1)^1/2]1/2=2 
> 
>Eu obtive essa resoluçãoi mas não está dando certo... Quem escrever 
>alguma resolução ou indicar o erro da minha eu agradeço desde já 
>{[x+2(x-1)^1/2]1/2}^2+2{[x+2(x-1)^1/2]1/2.[x-2(x-1)^1/2]1/2]}+{[x-2(x-1)^1/2 
>]1/2}^2=4 
>x+2[x-1]^1/2+2{x^2-2[x-1]^1/2}^1/2+x-2[x-1]^1/2=4 
>2x+2[x^2-4(x-1)]^1/2=4 
>x=2 
>========================================================================= 
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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